Способы задания функции 2-х переменных

1) Табличный

2) Графический способ

-некоторая поверхность в пространстве.

3) Аналитический

Т.е функция задана с помощью формулы, содержащей конечное число элементарных функций и арифметических действий над ними. Для функции 3-х и более переменных возможен только аналитический способ задания.

Областью переменных функции 2-х переменных являются множество точек плоскости хОу, для некоторых эта формула имеет смысл.

Пример:

1)

- является xOy (вся плоскость).

2)

3)

Т.е областью определения может быть вся плоскость и ее часть.

В любой тройке чисел (x, y,z) соответствует точка или точка .

Аналогично случаю 2-х переменных можно записать функцию 3-х переменных как функцию от точки . Областью определения этой функции служит все пространство или его часть.

2. Геометрическое изображение функции 2-х переменных

Определение: Графиком функции определенной в области G называется множество точек таких, что , а .

Пример:

(0;0)

- эллипс

- парабола

- парабола

Линии уровня – это множество точек плоскости (например, в xOy в которых функция принимает постоянное значение ).

Придавая различные значения С, и каждый раз строя линию, получим множество линий уровня, которое наглядно описывает функцию .

Пример: параболоид вращения.

- (0,0)

3. Предел функции 2-х переменных.

В плоскости множество точек координаты которых удовлетворяют неравенствам или называется дельта окрестностью точек .

Определение: Число А называется пределом функции

или

Определение: Функция - называется , если .

Все основные свойства и пределов функции одной переменной обобщаются и в случае 2-х и более переменных.

4. Непрерывность функции 2-х переменных.

Пусть только области определения функции .

Опр.: Функция называется непрерывной в точке , если .

Т.е 1) функция определена в точке ;

2) Существует

3) , причем произвольным образом оставались в области определения.

Пусть

Определение: Полным приращением функции в точке называется , т.е разность значений функций в этих точках. , тогда условие непрерывности функции в точке :

Пусть функция - она непрерывна на всей области xOy, т.е

при

Арифметические операции над непрерывными в точке функциями приводят к непрерывным в этих точках функциям (кроме деления на 0).

5. Понятие области.

Определение: Областью или открытой областью называется множество точек области, обладающие следующими свойствами:

1) Каждая точка области принадлежит ей вместе с некоторой своей окрестностью (свойство открытости);

2) Любые две точки области можно соединить непрерывной линией целиком лежащей в этой области (свойство связности).

Определение: Непрерывная линия это множество точек в плоскости которой заданы непрерывные функции.

Пример: Множество точек плоскости внутри замкнутого контура -области.

Точка - граничная, т.е в ее окрестности содержатся как точки, принадлежащие ее области, так и ей не принадлежащие.

Все точки контура - граничные.

Определение: Если к открытой области присоединить ее границу, то полученное множество называется замкнутой областью.

Определение: Если для данной области можно подобрать круг полностью ее покрывающий, то область называется ограниченная.

Определение: Область открытая или замкнутая называется односвязанной, если для любого замкнутого контура лежащего в этой области, ограниченная или часть области целиком принадлежит .

Все виденные понятия почти без изменений переносятся на пространство 3-х и большее число.