Выпуклость и вогнутость кривой в точке перегиба

Рассмотрим на плоскости кривую являющуюся графиком однозначной дифференцируемой функцией .

Определение: Говорят, что кривая обращена выпуклостью вверх на интервале (а,в), если все точки лежат ниже ее касательной проведенной в любой выпуклой вниз на интервале (с,d), если все точки кривой лежат выше любой касательной и этой кривой.

На (а,в) - вверх; на (с,d) - вниз.

Теорема 1:

Если во всех точках x, принадлежащих интервалу (а,в) , то кривая выпукла вверх.

Если , то кривая выпукла вниз.

Доказательство:

Пусть , докажем, что кривая выпукла вверх.

Пусть - фиксированная точка интервала (а,в), тогда по формуле Тейлора получили (1), где

(с – находится между и ), т.е

(2)

-это ордината кривой в точке x, т.е y. Чтобы не путать ординату кривой в точке x, с ординатой касательной, обозначим ординату касательной y, тогда уравнение касательной в точке

(3)

, следовательно, по определению выпукло вверх.

Определение: Точка, отделяющая выпуклую часть вверх непрерывной кривой, от выпуклой вниз – называется точкой перегиба этой кривой.

Теорема 2:

Пусть или не существует и при переходе через точку меняет знак, тогда точка - точка перегиба функции (без доказательства).