Локальный экстремум. Необходимое условие существования локального экстремума в точке. Достаточные (I, II) условия существования экстремума в точке

Определение: функция имеет в точке - max (локальный), если существует окрестность такая, что для и .

Определение: функция имеет в точке - min (локальный), если существует окрестность такая, что для и .

точки на границе (а) не могут быть

- наибольшее значение;

- точка max;

- точка min;

min- значения нет.

Определение: точки max и min – точки экстремума функции.

Теорема (1):

(Необходимое условие экстремума)

Если дифференцируемая функция имеет в точке экстремум, то производная в ней равна 0. .

Доказательство:

Для определенности функция имеет max тогда достаточна и .

т.е. существует и т.д.

Замечание 1:

1) Можно убедиться, что существуют точки, в которых , но экстремума в этой точке нет.

Кроме того, ясно, что точка О, в которых не обращается в ноль, экстремум быть не может – это достаточное условие отсутствия экстремума.

Замечание 2:

Рассмотрим функцию .

производной не существует

Но в точке функция имеет max(глобальный), следовательно, экстремум может существовать и в точках, в которых производная не существует.

Определение 3: Значения аргумента, при которых производная обращается в ноль или не существует, называются критическими точками. Эти точки «подозрительны» на экстремум.

Из сказанного выше следует, что не во всякой критической точке функция имеет экстремум, однако, если точка - это точка экстремума функции, то она обязательно критическая.