Первое и второе достаточное условие существования экстремума в точке

Теорема 1:

Пусть функция непрерывна в некоторой окрестности в точке и дифференцируема в этой окрестности кроме, может быть, в точке , тогда:

1) Если при переходе слева на право через точку производная может знак с положительного на отрицательный, то в точке функция имеет локальный максимум.

2) Если при переходе слева на право через точку производная меняет знак с отрицательного на положительный, то точка - точка локального min.

Доказательство:

Пусть - окрестность, о которой идет речь в теореме и для определенности покажем, что в точке меняет знак с «+» на

«-», т.е

Возьмем точку x, принадлежащую этой окрестности, если окажется, что , то применим теорему Лагранжа на отрезке

т.е

Если: и

Применим теорему Лагранжа:

Следовательно, по определению, - точка max.

Теорема 2:

Пусть - критическая точка и - непрерывна в окрестной , тогда:

1) Если - max

2) Если - min

Доказательство:

Т.к. непрерывна в точке , тогда найдется окрестность в точке , где . Для определенности полагаем, что , тогда запись означает, что убывает в этой окрестности.

- критическая точка , т.е если

по первому достаточному условию - max.