Поверхностный интеграл второго типа (по проекциям)

Пусть в каждой точке двухсторонней поверхности задана непрерывная функция f (x, y, z). Выберем на поверхности определённую сторону, разобьём её сетью произвольных кривых на п участков, на каждом из которых произвольно выберем точку

, где i = 1, 2, …, n.

Вычислим значения функции f_i = f (M_i), где i = 1, 2, …, n.

На каждом из участков в выбранной точке M_i построим к выбранной стороне поверхности нормаль .

Спроектируем каждый из участков _i на плоскость xoy, обозначив площадь проекции i -го участка. Составим произведения , причём, если нормаль образует острый угол с осью oz, берём произведение со знаком плюс, если нормаль образует тупой угол с осью oz, берём произведение со знаком минус. Суммируем все произведения:

. (6)

Обратите внимание: слагаемые суммы (6), в отличие от предыдущих интегральных сумм, распространяют на весь участок _i не только значение функции f (M_i), но и направление нормали, построенной в точке M_i.

Теорема. Если существует конечный предел интегральной суммы (6) при стремлении к нулю диаметров всех частей (или max di 0), не зависящий от типа разбиения и выбора точек M_i, то его называют поверхностным интегралом второго типа, распространённым на выбранную сторону поверхности, и обозначают

,

.

Аналогично определяются интегралы

, ,

причём для выбора знака проекции служит угол нормали с осью оу и ох соответственно.

Наиболее общим видом поверхностного интеграла второго типа является составной интеграл

, (7)

где Р, Q, R - функции трёх переменных, определённые и непрерывные на поверхности .

Поверхностный интеграл (7) обладает всеми свойствами поверхностного интеграла первого типа, за исключением одного: при изменении стороны поверхности интеграл меняет знак на противоположный.

Рассмотрим сначала третье слагаемое формулы (7) и поставим задачу о вычислении данного интеграла.

Пусть поверхность задана уравнением z = f (x, y) и она однозначно проектируется в область D_xy плоскости xoy. Тогда

, (8)

где знак (+) берётся, если на выбранной стороне поверхности , и знак (-) берётся, если .

Аналогично рассуждая, получим формулы для вычисления оставшихся слагаемых составного интеграла.

Пусть поверхность задана уравнением y = (x, z) и она однозначно проектируется на плоскость xoz в область D_xz. Тогда

(9)

Знак (+) берём, если на выбранной стороне поверхности , и знак (-) берём, если .

Первое слагаемое формулы (7) вычисляется с помощью двойного интеграла

, (10)

где x = (y,z) - уравнение поверхности ;

D_yz - проекция поверхности на плоскость yoz.

Знак (+) берём, если , знак (-) берём, если на выбранной стороне поверхности .

Таким образом, для вычисления составного интеграла (7) используются формулы (8) - (10), правые части которых представляют собой двойные интегралы по соответствующим проекциям поверхности на координатные плоскости; проектирование каждый раз предполагается однозначным. В более сложных случаях поверхность разбивают на части.