Поверхностные интегралы первого типа

К понятию интеграла по поверхности приводит, например, задача о вычислении массы, распределённой по поверхности с переменной поверхностной плотностью f (M).

Решим эту задачу.

Рис.1

Разобьём поверхность произвольным образом на п частей i (см. рис. 1) и выберем в каждой из них (также произвольно) точку M_i. Если части i достаточно малы, то за их массу можно принять произведение , i = 1, 2, …, n, где - площадь i -го участка поверхности (т.е. мы предполагаем, что каждый из участков i однородный с плотностью f (M_i), где i = 1, 2, …, n), тогда масса всей поверхности

( 1)

Это значение тем точнее, чем меньше участки i. Переходя к пределу при , а значит, уменьшая размер каждого участка, получим точное значение массы поверхности

К аналогичным пределам приводят и другие задачи физики, эти пределы называются поверхностнымиинтеграламипервоготипа.

Теорема. Если при стремлении диаметров всех частей i к нулю интегральная сумма (1) имеет конечный предел, не зависящий ни от способа разбиения поверхности на части, ни от выбора точек M_i, то этот предел называется поверхностным интегралом первого рода и обозначается

(2)

Заметим, что этот интеграл обладает всеми свойствами криволинейного интеграла первого типа и, в частности, если подынтегральная функция
f (x, y, z) = 1, получаем формулу для вычисления площади поверхности

. (3)

Интегралу (2) можно придать механический смысл: если f (x, y, z) = - переменная плотность материальной поверхности , то масса этой неоднородной поверхности

. (4)

Выведем формулу для вычисления интеграла (2).

Рис.2

Пусть поверхность однозначно проектируется в область D плоскости хоу. Тогда

,

где - угол между нормалью к поверхности и осью OZ (см. рис. 2).

Если поверхность описывается уравнением z = z (x, y), то

(см. тему 12 формулу 14.).

Подставив этот дифференциал в (2), получим формулу для вычисления поверхностного интеграла по поверхности

(5)

где D_xy - проекция поверхности на плоскость хоу.

Таким образом, чтобы вычислить поверхностный интеграл первого типа, необходимо перевести его в двойной интеграл по области D, полученной в результате проектирования поверхности на одну из координатных плоскостей (проектирование должно быть взаимно однозначным: одна точка поверхности проектируется в одну точку плоскости), подсчитать элемент и выразить подынтегральную функцию через выбранные переменные.