Криволинейный интеграл первого типа (по длине дуги)

Пусть в некоторой области D плоскости хоу (см. рис. 1) задана непрерывная функция f (x, y) и гладкая незамкнутая кривая L между точками А, В.

Рис. 1

Составим интегральную сумму по уже известному алгоритму. Разобьём кривую L точками

А = А ₀, А ₁,..., А_п = В

на п произвольных участков l_i, обозначив через длину i -го участка кривой между точками А_i- 1, A_i, где I = 1, 2, …, п.

В каждом i- том участке выберем произвольно точку и подсчитаем в ней значение функции f_i = f (M_i).

Просуммировав произведения по всем i = 1, 2, …, п, получим интегральную сумму

.

Предел этой интегральной суммы, если он существует и не зависит от типа разбиения дуги L и способа нахождения точек M_i, где i = 1, 2, …, п, называется криволинейныминтеграломпервоготипаотфункции f (x, y), взятым по кривой L, и обозначается

где .

Этому интегралу можно придать вполне определённый физический смысл: если в каждой точке дуги L задана переменная плотность - функция точки, то можно подсчитать массу материальной дуги АВ:

. (1)

Сравните с задачей о вычислении массы неоднородного стержня, приводящей к понятию определённого интеграла.