Признаки абсолютной сходимости

[править]Признак сравнения

Если при , то:

§ если ряд сходится, то ряд сходится абсолютно

§ если ряд расходится, то ряд расходится

Согласно критерию Коши, . Значит, , и по критерию Коши ряд сходится. Второе утверждение следует из первого, так как если бы ряд сходился, то и ряд сходился бы.

[править]Признак сходимости рядов с монотонно убывающими членами

Пусть . Тогда ряд сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд Простейшие свойства сходящихся рядов.

1. Если ряд сходится, то сходится любой из его остатков. Наоборот, из сходимости какого-то остатка вытекает сходимость всего ряда. Отсюда следует, что изменение или выбрасывание конечного числа членов ряда не изменяет его сходимости или расходимости.

2. Если ряд сходится, то .

3. Если ряд сходится, то сходится ряд и имеет место равенство

.

4. Если ряды и сходятся, то сходится и ряд имеет место равенство

.

5. Если ряд сходится, то .

Отсюда следует Признак расходимости ряда. Если , то ряд расходится.