Криволинейный интеграл второго типа (по координатам)

В пространственной области Т рассмотрим три функции P (x, y, z), Q (x, y, z), R (x, y, z), непрерывные на дуге АВ кусочно-гладкой кривой L.

Разобьём дугу АВ точками M_i (x_i, y_i, z_i) на п элементарных дуг M_i -1 M_i (i = 1, 2, …, n), на каждой из которых произвольно выберем точку K_i. Вычислим значения каждой из функций в выбранных точках

P (K_i), Q (K_i), R (K_i) где i = 1, 2, …, n.

Спроектируем каждую элементарную дугу на оси координат, обозначив их проекции соответственно . Составим произведения

для всех i = 1, 2, …, n и просуммируем их:

(5)

где S_n - интегральная сумма для функций P, Q, R.

Определение. Криволинейным интегралом второго типа, взятым по кривой L (или по пути АВ), называется предел интегральной суммы S_n при и

Обозначается:

(6)

В частности, в двухмерном пространстве, если кривая L целиком находится в плоскости хоу, а функции P, Q, R не зависят от переменной z, имеем криволинейный интеграл

Докажем, что составной интеграл существует, и одновременно получим метод его вычисления.