Независимость криволинейного интеграла от пути

Среди силовых полей в физике особую роль играют так называемые потенциальные силовые поля. Их отличительной особенностью является то, что работа, совершаемая таким полем, зависит лишь от начальной и конечной точек пути, и не зависит от траектории, соединяющей эти точки. Математически это соответствует тому, что криволинейный интеграл второго рода также зависит лишь от начальной и конечной точек пути, и не зависит от траектории, соединяющей эти точки. Поэтому с математической точки зрения представляет интерес выяснение тех условий, при выполнении которых криволинейный интеграл обладает этим свойством.

1Плоский случай

Пусть дан криволинейный интеграл второго рода по плоской кривой

.

Ответ на поставленный вопрос дают следующие две теоремы.

Теорема 1. Для того чтобы не зависел от пути интегрирования необходимо и достаточно, чтобы существовала такая функция , что

.

Теорема 2. Если в односвязной области существуют и непрерывны и , то для того, чтобы было выполнено условие теоремы 1, необходимо и достаточно, чтобы

.

2Пространственный случай

В случае интегралов по пространственной кривой соответствующие теоремы приобретают следующий вид.

Теорема 1. Для того чтобы не зависел от пути интегрирования необходимо и достаточно, чтобы существовала такая функция, что .

Для формулировки второй теоремы введем понятие ротора векторной функции. Пусть . Тогда ротор этой функции определяется так:

Теорема 2. Для того чтобы не зависел от пути интегрирования необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

.

4.2 физический смысл криволинейного интеграла второго типа