Физический смысл

Рассмотрим криволинейные интегралы второго рода по пространственной кривой

.

Рассмотрим так называемую вектор-функцию

как трехмерный вектор с компонентами , и , а также вектор . Тогда комбинация, стоящая под знаком интеграла, есть не что иное, как скалярное произведение и , то есть

,

и поэтому

.

Физически вектор-функция ассоциируется с силовым полем, когда в каждой точке пространства на материальную точку действует сила . Примером такого поля может служить гравитационное поле, электрическое поле, магнитное поле и т.д. Физически скалярное произведение имеет смысл работы, которую силовое поле совершает, перемещая материальную точку по вектору d r. Поэтому, с точки зрения физика, криволинейный интеграл второго рода

есть работа, которую совершает силовое поле , перемещая материальную точку по кривой АВ.

Обозначим через a, b и g углы, которые вектор образует с осями OX, OY и OZ. Заметим, что длина вектора

есть не что иное, как дифференциал длины дуги кривой. Поэтому

и мы можем записать

.

Заметим, что слева стоит криволинейный интеграл второго рода, а справа – криволинейный интеграл первого рода. Эта формула, таким образом, дает связь между криволинейными интегралами первого и второго рода.