Сведенья кратного интеграла к интегралам одной переменной

Кратным (n-кратным) интегралом функции на множестве называется число (если оно существует), такое что, какой бы малой -окрестностью числа мы ни задались, всегда найдется такое разбиение множества и набор промежуточных точек, что сумма произведений значения функции в промежуточной точке разбиения на меру разбиения будет попадать в эту окрестность. Формально:

: :

Здесь — мера множества .

Это определение можно сформулировать в другой форме с использованием интегральных сумм. А именно, для данного разбиения и множества точек рассмотрим интегральную сумму

Кратным интегралом функции называют предел

если он существует. Предел берётся по множеству всех последовательностей разбиений, с мелкостью стремящейся к 0. Разумеется, это определение отличается от предыдущего, по сути, лишь используемым языком.

Интеграл обозначается следующим образом:

§ В векторном виде: ,

§ Либо ставят значок интеграла раз, записывают функцию и дифференциалов: .

§ Для двойного и тройного интегралов используются также обозначения и соответственно.

В современных математических и физических статьях многократное использование знака интеграла не применяется.

Такой кратный интеграл называется интегралом в собственном смысле.

4.1 два типа криволинейногоинтеграла