Интегральная функция распределения, ее свойства. Вероятность попадания случайной величины в интервал

Обозначение: , .

Если рассматривать СВ как случайную точку на оси , то функция распределения есть вероятность попадания точки левее точки в результате реализации опыта.

Свойства функции распределения случайной величины

1) .

Это свойство следует из определения функции распределения и из свойства (1) вероятности (лекция 1).

2) – монотонно неубывающая функция, то есть для любых и таких, что выполняется неравенство .

Действительно, пусть . Тогда

Или .

Так как вероятность не может быть отрицательной величиной, из последнего соотношения имеем: , при .

3) Вероятность попадания значений СВ в интервал от до равна разности значений функции распределения в точках и : .

По свойству 2 имеем: .

4) Вероятность того, что НСВ примет одно определённое значение, например, , равна нулю: .

Действительно, .

При . Значит, . Поэтому выполняются равенства:

.

5) .

Действительно, СВ не может иметь значений, которые были бы меньше отрицательной бесконечности.

6) .Это свойство отражает тот факт, что событие «СВ принимает значение, меньшее положительной бесконечности» – достоверно. Таким образом, все значения функции распределения принадлежат отрезку .

7) непрерывна слева в любой точке и имеет предел справа в любой точке.

То, что функция распределения имеет предел слева и справа в любой точке, следует из монотонности и ограниченности (свойства 2 и 1 соответственно). Для доказательства непрерывности слева осталось показать, что .

Пусть – любая возрастающая последовательность чисел, сходящаяся к . Тогда

.

По аксиоме 3 лекции 2 имеем

.

Так как ряд справа состоит из положительных чисел и сходится к , то остаток ряда, начиная с некоторого номера , будет меньше , (теорема об остатке сходящегося ряда):

.

Используя свойство 3, выразим вероятности событий через функцию распределения:

,

откуда

,

или

.

Это значит, что

.