Независимые повторные испытания. Формула Бернулли

Схема Бернулли. Пусть последовательно проводятся независимых и одинаковых испытаний в одних и тех же условиях, в результате каждого из которых наступает или не наступает некоторый исход. Исход любого испытания не зависит от предыдущих. Если испытание может закончиться ровно двумя исходами: либо событием с одной и той же вероятностью , либо событием с одной и той же вероятностью , то подобная последовательность испытаний называется схемой Бернулли.

Как найти вероятность события , состоящего в том, что в серии из независимых испытаний событие появится ровно раз и не появится раз? Например, нужно найти вероятность того, что при десяти подбрасываниях монеты цифра выпадет ровно два раза: .

Обозначим появление в -том испытании событием , . Понятно, что событие может произойти раз не одним способом. Запишем несколько возможных комбинаций появления исхода ровно раз: , …, , …, .

Событие произойдет, когда произойдет первая, вторая, …, или последняя комбинация, поэтому

.

Слагаемые в правой части – несовместные, непересекающиеся события, поэтому вероятность события равна сумме вероятностей каждого слагаемого:

.

Множители в скобках – события независимые, поэтому вероятность каждого произведения равна произведению вероятностей каждого множителя:

.

.

Возникает вопрос: сколько слагаемых вида ? Для элементов вида (или элементов вида ) можно выбрать адреса на позициях разными способами. Так как элементы между собой не различаются, то комбинаций на самом деле во столько раз меньше, сколькими способами можно перемешать элементов между собой. Всего таких способов . Поэтому в сумме имеется (или ) слагаемых, то есть:

, где .

Полученное равенство называется формулой Бернулли.