Локальная и интегральная формулы Муавра-Лапласа

При достаточно большом и не слишком малых и () формула Пуассона дает значительную погрешность и применяется другое приближение формулы Бернулли – локальная формула Муавра-Лапласа, которую можно получить из формулы Бернулли, совершая предельный переход и применяя формулу Стирлинга для вычисления : , где .

, где , .

Эта формула табулирована (приложение 1), причем в силу четности функции , таблица ее значений составлена для .

Если при сохранении условий предыдущего пункта нас интересует вероятность того, что при испытаниях событие появится не менее и не более раз, то формула Бернулли с учетом предельного перехода превращается в интегральную формулу Муавра-Лапласа.

,

где

, .

Обозначим (интеграл от чётной функции – функция нечётная). Тогда

,

где

, , .

Функция (интеграл от ) называется функцией Лапласа и представляет собой не выражающийся через элементарные функции интеграл. Поскольку функция Лапласа нечетная () и быстро приближается к своему асимптотическому значению 0,5, то таблица ее значений (приложение 2) составлена для . Для больших значений аргумента () с большой точностью можно брать .