Математическое ожидание дискретных и непрерывных случайных величин

Определение 7.1. Математическим ожиданием ДСВ называется сумма произведений всех её возможных значений на соответствующие вероятности.

Обозначение: , , .

Если множество значений ДСВ бесконечно, то её математическое ожидание равно сумме бесконечного ряда: , при условии, что ряд абсолютно сходится. Иначе математического ожидания не существует.

Математическое ожидание ДСВ может не совпадать ни с одним из её значений, то есть может находиться между этими значениями. Отметим, что математическое ожидание – это постоянное число, то есть величина неслучайная, а среднее арифметическое может изменяться при дублировании опыта, то есть является величиной случайной.

Математическое ожидание НСВ введём по аналогии с определением 6.1.

Пусть НСВ с плотностью вероятности принимает значения из отрезка (рис. 1).

Разобьем этот отрезок на элементарных отрезков , , …, .

Длины этих отрезков равны , .

На каждом из отрезков произвольно выберем точку и составим произведение , которое приближенно равно вероятности попадания значений НСВ в интервал , то есть .

Просуммируем эти произведения: .

Это равенство будет тем точнее, чем меньше .

Значит, .

Полученный определенный интеграл называется мат. ожиданием НСВ , то есть .

Если все возможные значения НСВ принадлежат интервалу , то .

Если в последней формуле несобственный интеграл является абсолютно сходящимся, то математическое ожидание не существует.

Механическая интерпретация последней формулы такова. Пусть масса стержня бесконечной длины меняется пропорционально плотности распределения . Тогда дает координаты центра тяжести этого стержня.