Независимость попарная и в совокупности. Пример Бернштейна

Определение 3.2. События () называются независимыми в совокупности, если для любого события из их числа и произвольных событий , , …, () из их числа, события и , , …, взаимно независимы, то есть .

Если это равенство справедливо для случая, когда событий два, то они называются попарно независимыми.

Попарной независимости недостаточно для независимости в совокупности. Это иллюстрирует

►Пример С.Н. Бернштейна. На плоскость бросается тетраэдр. Три грани его окрашены в красный, синий и зелёный цвета, а на четвёртую нанесены все три цвета. Пусть событие означает выпадение грани, содержащей красный цвет, событие – выпадение грани, содержащей синий цвет, событие – выпадение грани, содержащей зелёный цвет.

Так как каждый из трёх цветов имеется на двух гранях, то . Любая пара цветов присутствует только на одной грани, поэтому вероятность пересечения любых двух событий . Это означает попарную независимость событий , , . Три цвета присутствуют на одной грани, поэтому , а , и, следовательно, , то есть события , , зависимы в совокупности. ◄

Теперь обобщим теорему 3.4 так: для трёх независимых в совокупности событий

.