Условная вероятность. Теорема умножения

Определение 3.1. Вероятность события , вычисленная при условии, что произошли события , , …, , называется условной и обозначается (событие в таком случае называется зависимым от событий , , …, ). Если же вероятность события не связана с осуществлением событий , , …, , то она называется безусловной (событие в этом случае называется независимым от событий , , …, ).

По определению событие зависит от события , если . Если же , то событие не зависит от события .

Вероятность произведения событий. Рассмотрим третий и четвёртый случаи. Пусть в результате некоторого опыта может произойти событие , но только в том случае, если произойдёт событие . Допустим, что событию благоприятствуют исходов опыта () из равновозможных элементарных, а событию – исходов. По классическому определению вероятности: , .

Если произошло, то реализован один из исходов, и событие может произойти, только если произойдёт один из исходов, благоприятствующих . Таких исходов . Поэтому естественно положить условную вероятность события при условии, что произошло, равной отношению: .Полученное равенство можно записать в виде: .

Теорема 3.3 (о вероятности произведения двух событий). Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое событие уже произошло:

или .

Эту теорему можно обобщить на случай, когда событий больше двух. Например, для трёх она имеет вид:

.

Понятно, что если два события независимые, то и формула из теоремы 3.3 принимает вид:

.

Теорема 3.4 (о вероятности произведения двух независимых событий). Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению их вероятностей:

.

Чтобы обобщить это равенство на случай трёх и более событий, рассмотрим понятие независимых в совокупности событий.