Статистическое и геометрическое определения вероятности

Статистическое определение вероятности. Пусть в результате некоторого опыта может произойти или не произойти событие . Повторим этот опыт раз и пусть – число опытов, в которых появилось событие .

Определение 2.2. Относительной частотой события в проведенной серии опытов называется отношение числа опытов, в которых появилось , к числу всех опытов: .

Очевидно наличие у тех же свойств, что и у классически определенной вероятности: , , , и , если события и несовместны.

Относительная частота находится только после проведения серии опытов и может меняться от серии к серии. Однако замечено, что при увеличении числа опытов относительная частота приближается к некоторой постоянной. Эту постоянную считают вероятностью данного события, которая называется статистической.

Геометрическое определение вероятности. Рассмотрим опыт, состоящий в бросании случайным образом точки на отрезок , предполагая, что попадания в любую точку равновозможны. Пространство элементарных событий в этом опыте – все точки отрезка – событие . Поскольку множество элементарных исходов несчётно (бесконечное) и все они равновозможные, то для любого : . То есть классическая схема неприменима. Припишем событию – попаданию брошенной точки на отрезок , входящий в , – вероятность, пропорциональную его длине:

, где – длина отрезка. Коэффициент найдём из условия нормировки: , тогда .

Легко убедиться в справедливости всех аксиом.

G

Рис. 1

g

Вместо отрезка можно говорить о плоской фигуре. Пусть на плоскости задана квадрируемая область (область, имеющая площадь) . Её площадь обозначим . В области содержится область площади . В область наудачу брошена точка. Какова вероятность того, что она попадет в область ?

Хотя каждое из множеств и содержит бесконечное множество точек, однако «вместимость» множества больше во столько раз, во сколько превышает . Принимая равновозможность всех вариантов, можно считать, что искомая вероятность равна .

Аналогично поступают и в трёхмерном случае: .