Резонанс токов и напряжений в колебательном контуре

1. Резонанс токов и напряжений в последовательном R, L, С контуре.

Подадим на последовательный контур (рис.1.12.1) напряжение U_вн = U_mcoswt.

При установившихся колебаниях сила тока изменяется со временем по закону:

I(t) = I_m(wt - j).

Амплитуда тока определяется законом Ома:

Амплитуда силы тока I_m зависит от частоты w внешнего напряжения. Если w = 0, то . При этом полное сопротивление Z обращается в бесконечность, а I_m= 0. При увеличении w квадрат реактивного сопротивления сначала уменьшается, поэтому уменьшается Z, а I_m увеличивается. Изменяя частоту внешнего напряжения w, можно добиться условия:

X=X_L-X_C = (1.12.1)

При этом Z=R, то есть Z имеет минимальное значение.

Таким образом, при некоторой частоте w = w_рез ток в контуре достигает максимального значения:

(1.12.2)

Это явление называется резонансом тока в последовательном контуре.

Частота, при которой возникает резонанс токов, определяется из условия (1.12.1)

,

отсюда (1.12.3)

Из (1.12.3) следует, что резонанс токов наступает при частоте, равной собственной частоте колебаний последовательного контура w₀.

При w > w₀ квадрат реактивного сопротивления увеличивается с возрастанием w. В соответствии с этим полное сопротивление Z увеличивается, а амплитуда силы тока I_m уменьшается, асимптотически приближаясь к нулю при увеличении w. Зависимость I_m от частоты w для трех различных значений активного сопротивления R приведена на рис.1.12.2.

Рассмотрим, как изменяется разность фаз между током и напряжением при изменении частоты. Из формулы

следует, что при малых частотах, когда wL<< , tgj имеет большое отрицательное значение, следовательно,

В этом случае ток опережает напряжение, и цепь имеет емкостной характер. При возрастании частоты w реактивное сопротивление, оставаясь отрицательным, уменьшается по абсолютному значению, и разность фаз уменьшается.

При w_рез.(I)=w₀, tgj =0 и j = 0.

При w >w_рез.(I) реактивное сопротивление

X = (wL -

и увеличивается с возрастанием w. Поэтому

0 < tg j < и .

Следовательно, ток отстает от напряжения по фазе, и цепь носит индуктивный характер. Таким образом, вблизи резонансной частоты фаза меняет знак. Зависимость разности фаз j от частоты колебаний изображена на рис. 1.12.3.

Исследуем частотную зависимость амплитудного значения напряжения (1.9.8)

U

Чтобы определить частоту, при которой амплитуда напряжения принимает максимальное значение, то есть частоту, при которой наблюдается резонанс напряжения, нужно найти минимум знаменателя. Продифференцировав его по w и приравняв производную нулю, мы получим значение w_рез напряжения в контуре:

w_{рез.(напряжения )}= (1.12.4)

Из (1.12.4) следует, что резонанс напряжений наступает на частоте меньше собственной. Меняя емкость или индуктивность контура, тем самым, изменяя w₀, можно настраивать радиоприемник на определенную частоту w и выделять сигнал нужной частоты, резко усиливая его амплитуду.

Резонансные кривые напряжения для контуров с различным затуханием приведены на рис. 1.12.4.

При w ® 0 резонансные кривые сходятся к напряжению , возникающему на конденсаторе при подключении его к источнику постоянного напряжения.

Максимум при резонансе получается тем выше и острее, чем меньше затухание контура .Найдем отношение амплитуды напряжения на конденсаторе при резонансе к амплитуде внешнего напряжения U_m: (1.12.5)

При малом затухании (b²<<w ) формула (1.12.5) будет иметь вид:

(1.12.6)

где D - добротность, определяемая формулой (1.8.15).

Таким образом, из (1.12.6) следует, что добротность D показывает, во сколько раз при резонансе амплитуда напряжения на конденсаторе превышает амплитуду приложенного внешнего напряжения. При условии малого затухания () резонансную частоту для напряжения можно положить равной w₀. Амплитуды напряжений на емкости и индуктивности при резонансе имеют значения:

(1.12.7)

(1.12.8)

Следовательно, = , но так как оба напряжения меняются в противофазе, то в сумме они равны нулю. Таким образом, для последовательного контура при резонансе справедливо:

(1.12.9)

Диаграмма ток-напряжение для последовательного колебательного контура при резонансе имеет вид, показанный на рис. 1.12.5.

Как видно на рис.1.12.4, при малом затухании () в контуре возникает острый резонанс. Остроту резонансной кривой можно связать с добротностью D. Для этого определим ширину резонансной кривой Dw, соответствующую току 0,7 (рис.1.12.6). Этот интервал частот называется полосой пропускания контура.

Относительная ширина резонансной кривой связана с добротностью соотношением:

= . (1.12.10)

Явление резонанса используется для выделения нужной составляющей из внешнего сигнала сложного состава. Пусть напряжение, приложенное к контуру, равно

U_вн=U_m1cos(w₁ t + j₁ ) + U_m2 cos(w₂ t + j₂ ) +...

Подбирая емкость или индуктивность контура, тем самым, настраивая контур в резонанс на одну из частот w1, w2, wi, можно получить на конденсаторе напряжение, в D раз превышающее амплитуду приложенного напряжения Um. Амплитуды остальных составляющих будут малы. Таким образом, производится анализ сложного колебания или настройка радиостанции на необходимую частоту или длину волны.

II. Резонанс токов в параллельном контуре.

Рассмотрим колебательный контур, состоящий из конденсатора C и катушки индуктивности L, включенных параллельно (рис. 1.12.7).

При подаче внешнего напряжения в неразветвленной части цепи установятся колебания тока:

I(t) = I_mcos(wt - j). (1.12.11)

Ток через емкость будет меняться по закону:

,

где (1.12.12)

Закон изменения тока через индуктивность имеет вид

,

где (1.12.13)

Разность фаз Dj между токами через емкость и индуктивность равна: Dj = wt - j то есть изменения токов происходят в противофазе. С учетом этого амплитуда тока в неразветвленной части цепи определяется следующим выражением:

(1.12.14)

Таким образом, амплитуда силы тока в подводящих проводах меньше, чем в отдельных ветвях контура.

При частоте внешнего напряжения, равной w₀ для амплитуды тока при резонансе получаем

В реальных цепях R ¹ 0, поэтому ток контура отличен от нуля, но и в этом случае ток в подводящих проводах значительно меньше, чем токи в отдельных ветвях контура. Это явление называется резонансом токов в параллельном контуре.

Зависимость амплитуды тока в контуре от частоты внешнего напряжения изображена на рис. 1.12.8.

Как следует из рисунка, ток, потребляемый от источника питания при резонансе минимален. Поэтому резонанс в параллельном контуре используют для питания схем, где ограничен ресурс источника питания.

Полное сопротивление Z при резонансе стремится к бесконечности, поэтому явление резонанса токов также используется для выделения колебания определенной частоты из сигнала сложной формы. В узкой полосе частот, вблизи резонансной, колебательный контур представляет большое сопротивление, и напряжение, снимаемое с контура при резонансе, имеет наибольшее значение.

В реальном колебательном контуре катушка индуктивности кроме реактивного сопротивления всегда имеет и активное сопротивление R. По этой причине разность фаз колебаний токов, текущих через емкость и индуктивность, будет меньше p, и ток в неразветвленной части цепи при резонансе не будет равен нулю.

Векторная диаграмма для реального параллельного колебательного контура изображена на рис. 1.12.9.

§1.13. Автоколебания. Транзисторный
автогенератор

При автоколебаниях (§1.1.) колебательная система сама задает моменты времени, когда подключается внешний источник энергии, компенсирующий потери энергии колебаний за счет сил трения или сопротивления цепи. В качестве примера автоколебательной системы рассмотрим генератор незатухающих электромагнитных колебаний на транзисторе (рис.1.13.1).

Основными элементами схемы являются:

- транзистор VT, обеспечивающий поддержание в контуре незатухающих колебаний;

- колебательный контур LC, определяющий в основном частоту генерируемых колебаний;

- индуктивность обратной связи L_ОС, обеспечивающая в цепи базы транзистора необходимую величину и фазу напряжения обратной связи;

- источник напряжения e_к, энергия которого преобразуется в энергию гармонических колебаний.

Остальные элементы схемы (С_бл2, C_бл1) задают необходимый режим работы транзистора и предотвращают протекание гармонических токов через источники постоянного напряжения e_к и e_б.

Работа схемы происходит следующим образом. При включении источников питания e_к и e_б в колебательном контуре возникают свободные затухающие колебания с частотой, определяемой параметрами элементов контура L и С. Протекание тока через индуктивность L вызывает магнитный поток, который наводит в катушке обратной связи L_ОС Э.Д.С. индукции e_ос. Эта Э.Д.С. изменяет ток базы, следовательно, и коллекторный ток транзистора.

Индуктивная связь между катушками индуктивности L и L_OC создается так, чтобы гармонический коллекторный ток с частотой w₀ = совпадал по фазе с гармоническим током той же частоты через катушку L, что способствует увеличению тока через L и, в свою очередь, увеличению амплитуды напряжения обратной связи. Последнее приводит к увеличению амплитуды коллекторного тока и т.д. Таким образом, процесс самовозбуждения колебаний с частотой w₀ будет развиваться до тех пор, пока из-за нелинейности коллекторно-базовой характеристики транзистора не наступит ограничение амплитуды коллекторного тока и схема переходит в стационарный режим работы, когда напряжения на контуре постоянны (рис. 1.13.2).

В современной технике связи применяются самые разнообразные схемы автогенераторов, особенности работы которых рассматриваются в специальных курсах.