Свободные затухающие колебания в электрическом контуре

Всякий реальный колебательный контур обладает активным сопротивлением (R ¹ 0), вследствие чего энергия, запасенная в контуре, постепенно расходуется на нагревание и колебания затухают.

Запишем для контура (рис.1.8.1) второй закон Кирхгофа:

Рис.1.8.1

IR+j₁-j₂=e _s или . (1.8.1)

Разделим обе части уравнения (1.8.1) на L и введем обозначение:

b = . (1.8.2)

Учтя, что , уравнение (1.8.1) перепишем в виде

. (1.8.3)

Уравнение (1.8.3) называется дифференциальным уравнением затухающих колебаний.

При выполнении условия b ²<w₀² или , которое

называют условием малых затуханий, решение уравнения (1.8.3) имеет вид

q(t)=A₀ e^{-b t} cos(wt+j₀), (1.8.4)

где - циклическая частота колебаний.

Амплитуда А затухающих колебаний равна

A(t)=A₀ e^{-b t}, (1.8.5)

где А₀ - начальная амплитуда.

Если в начальный момент времени (t = 0), заряд на обкладках конденсатора равен q=q₀ и ток в цепи отсутствует, то

. (1.8.6)

Скорость изменения амплитуды определяется величиной , которую называют коэффициентом затухания.

График затухающих колебаний, соответствующий уравнению (1.8.4), изображен на рис.1.8.2

Рис. 1.8.2

Напряжение на конденсаторе изменяется по закону:

. (1.8.7)

Изменение силы тока в колебательном контуре найдем, взяв производную по времени от выражения (1.8.4):

. (1.8.8)

Промежуток времени t = t₁ - t₀, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в e раз, называется временем жизни колебаний. Выразим t через параметры контура.

По определению: . Из (1.8.5) следует:

Откуда, получаем

bt = 1 или . (1.8.9)

Таким образом, коэффициент затухания b обратен по величине времени жизни колебаний. С учетом (1.8.2) . Отношение амплитуд через период колебания Т называется декрементом затухания:

. (1.8.10)

Натуральный логарифм отношения двух последующих амплитуд называется логарифмическим декрементом затухания l:

. (1.8.11)

В течение времени жизни t система успевает совершить колебаний. Подставляя в (1.8.11) значение b, определяемое формулой (1.8.9), получаем

. (1.8.12)

Следовательно, логарифмический декремент затухания обратен числу колебаний N_e, которые система совершит, прежде чем амплитуда колебаний уменьшится в
e раз.

Логарифмический декремент l определяется параметрами контура: R, L, C.

Если затухание мало (b²«w₀²), то .

В этом случае справедливо:

, (1.8.13)

где r - волновое сопротивление контура.

Одной из важнейших характеристик колебательного контура является его добротность D, которая характеризует способность колебательной системы поддерживать созданные в ней колебания. Добротность прямо пропорциональна числу колебаний, совершенных за время жизни:

D= . (1.8.14)

При малом затухании, подставив вместо l выражение (1.8.13), получим

D= . (1.8.15)

Можно показать, что при незначительном затухании добротность контура D пропорциональна отношению энергии Е, запасенной в контуре в данный момент, к убыли этой энергии (ΔЕ) за один период колебания:

D=

Период Т затухающих колебаний в реальном контуре определяется формулой

. (1.8.16)

С увеличением сопротивления контура период возрастает и при значении R_кр=2 обращается в бесконечность.

Это значение называется критическим сопротивлением контура.

Таким образом, в реальном колебательном контуре при наличии свободных колебаний могут реализоваться три режима:

I) при R>2r – апериодический (режим срыва колебаний). В этом случае изменение заряда на обкладках конденсатора не носит колебательного характера. Решение уравнения (1.8.3) в этом случае имеет вид

(1.8.17)

II) R = 2r - критический режим;

III) R < 2r - условие малых затуханий, при выполнении этого условия колебания существуют и решение уравнения (1.8.3) имеет вид, определяемый формулой (1.8.4).