Энергия свободных гармонических колебаний

Рассмотрим превращения энергии пружинного маятника и идеализированного колебательного контура без затухания. У пружинного маятника (рис. 1.2.1) в процессе колебаний происходит периодическое превращение энергии из кинетической в потенциальную и обратно (рис. 1.4.1).

Рис. 1.4.1

При максимальном отклонении от положения равновесия кинетическая энергия равна нулю, и полная энергия системы равна максимальному значению потенциальной энергии П_мах:

Е=П_мах= (1.4.1)

При прохождении положения равновесия Е равна максимальному значению кинетической энергии К_м:

Е=K_мах= (1.4.2)

где V_мах определяется соотношением (1.2.14). Поскольку система замкнута, для нее справедлив закон сохранения энергии. Покажем, что для любого момента времени Е=П+К=соnst. Значение K в любой момент времени определяется следующей формулой:

K(t)= , (1.4.3)

где V определяется соотношением (1.2.13).

Потенциальная энергия П в любой момент времени определяется следующим выражением:

П(t)= , (1.4.4)

где x определяется соотношением (1.2.8).

Полная энергия системы равна

E=K(t)+П(t)=

+ =

Таким образом, полная энергия свободного гармонического колебания является постоянной величиной. На рис.1.4.2 изображены графики зависимостей смещения, кинетической, потенциальной и полной энергии системы от времени.

А

Рис. 1.4.2

В колебательном контуре происходит периодическое превращение энергии электрического поля конденсатора в энергию магнитного поля катушки. Значение энергии электрического поля в любой момент времени равно

W_э= . (1.4.5)

Энергия магнитного поля катушки в любой момент времени равна

W_м= . (1.4.6)

Поскольку система замкнута (R» 0 ), для нее справедлив закон сохранения энергии. Покажем, что для любого момента времени

W_м+ W_э= const.

Складывая (1.4.5) и (1.3.12), находим:

W_м+ W_э= + . (1.4.7)

Учитывая соотношения (1.3.5) и (1.3.12) находим:

= (1.4.8)

C учетом (1.4.8) и основного тригонометрического тождества выражение (1.4.7) принимает вид

W_м+ W_э= = = const. (1.4.9)

Таким образом, полная энергия свободных гармонических колебаний в идеальном колебательном контуре
(R = 0) является постоянной величиной.