Расчет цепей переменного тока методом диаграмм ток-напряжение

Установившиеся вынужденные колебания можно рассматривать как протекание в цепи переменного тока I=I_m(w)cos(wt-j), обусловленного переменным напряжением:

u_{внешнее}= U_m coswt.

Ток по отношению к напряжению сдвинут на угол j, определяемый формулой (1.9.15). Сдвиг фаз между током и напряжением становится особенно наглядным, если изображать амплитуды токов и напряжений с помощью векторов.

I. Рассмотрим цепь, содержащую только активное сопротивление R (C®¥, L= 0) (рис.1.10.1).

Величина =0. Следовательно, tgj, определяемый формулой (1.9.15), равен нулю и j = 0.

Таким образом, ток и напряжение на активном сопротивлении изменяются в фазе. Амплитуда тока, определяемая формулой (1.9.11), в данном случае равна

(1.10.1)

Отсюда получаем амплитуду падения напряжения на сопротивлении:

. (1.10.2)

Выберем произвольное направление, которое назовем осью токов. Отложим вдоль него вектор Так как j = 0, то вектор будет совпадать с ним по направлению (рис.1.10.2).

II. Рассмотрим цепь, содержащую только индуктивность L (R= 0, C=¥) (рис.1.10.3).

В этом случае R = 0, = 0. Из формулы (1.9.15) следует, что tqj=¥, значит .

Рис. 1.10.3

Согласно (1.9.14) сила тока через индуктивность изменяется по закону:

. (1.10.3)

Таким образом, ток на индуктивности отстает от напряжения по фазе на. Это объясняется тем, что нарастанию тока препятствует ЭДС самоиндукции, возникающая в катушке при колебаниях силы тока.

Амплитуда тока через индуктивность равна

, (1.10.4)

где X_L=wL. (1.10.5)

Величину X_L=wL называют реактивным индуктивным сопротивлением. При w = 0, X_L = 0, то есть постоянному току индуктивность сопротивления не оказывает.

Амплитуда падения напряжения на индуктивности определяется формулой

. (1.10.6)

Построим диаграмму ток-напряжение для индуктивности (рис. 1.10.4).

Отметим, что на диаграмме j > 0, если поворот от вектора амплитуды тока к вектору амплитуды напряжения осуществляется против часовой стрелки.

III. Рассмотрим цепь, содержащую только емкость С (R= 0, L= 0),(рис. 1.10.5).

Из формулы (1.9.15) следует, что tqj= - ¥, а .

Закон изменения тока через емкость имеет вид

. (1.10.7)

Таким образом, ток на емкости опережает напряжение по фазе на .

Амплитуда тока на емкости определяется формулой

, (1.10.8)

где . (1.10.9)

Величину X_C называют реактивным емкостным сопротивлением. При w = 0 емкостное сопротивление обращается в бесконечность, это значит, что постоянный ток через конденсатор не проходит.

Амплитуда падения напряжения на конденсаторе определяется формулой

. (1.10.10)

Диаграмма ток-напряжение на емкости имеет вид
(рис. 1.10.6):

IV. Рассмотрим цепь, состоящую из последовательно соединенных емкости C и индуктивности L (R= 0) (рис.1.10.7).

Для этой цепи tqj=±¥, следовательно, сдвиг фаз между током и напряжением .

В этом случае ток либо опережает, либо отстает по фазе от напряжения.

Результат зависит от знака величины:

. (1.10.11)

Величину X, определяемую формулой (1.10.11), называют реактивным сопротивлением или реактансом цепи. Сила тока в цепи изменяется по закону:

. (1.10.12)

Амплитуда силы тока равна

. (1.10.13)

Векторная диаграмма ток-напряжение для последовательно соединенных L и C изображена на рис.1.10.8.

V. Рассмотрим цепь, представляющую собой последовательный R, L, C контур (рис.1.10.9).

При установившихся колебаниях в контуре протекает ток:

Между током и приложенным напряжением есть сдвиг фаз, определяемый выражением:

.

Падение напряжения на отдельных элементах контура в каждый момент времени можно выразить по закону Ома:

U^R(t)=RI(t) =RI_mcos(wt - j)= (1.10.14)

(1.10.15)

(1.10.16)

В формулах (1.10.14-1.10.16) учтено, что на активном сопротивлении ток и напряжение изменяются в фазе, напряжение на емкости отстает по фазе от силы тока на , а на индуктивности опережает ток на .

Из (1.10.15) и (1.10.16) определим разность фаз между напряжением на емкости и индуктивности в любой момент времени:

Δj = wt - j + - wt + j + = p.

Таким образом, напряжение на индуктивности и емкости изменяются в противофазе.

Для контура в любой момент времени напряжения U^R, U^L и U^C в сумме должны быть равны приложенному напряжению U_{внешнее}.

Каждое из напряжений U^R, U^L и U^C совершает гармонические колебания и, следовательно, может быть представлено с помощью вектора амплитуды. Сложив векторы амплитуды, изображающие напряжения U^R, U^L и U^C, получим вектор, изображающий амплитуду внешнего напряжения:

(1.10.17)

Проведем суммирование с помощью диаграммы
ток-напряжение (рис. 1.10.10) для момента времени t= 0.

Длина результирующего вектора равна амплитуде колебаний внешнего напряжения . Направление результирующего вектора образует с осью токов угол j, равный сдвигу фаз:

tgj =

Модуль результирующего вектора можно определить по теореме Пифагора:

Отсюда получаем

где X -реактанс контура, определяемый формулой (1.10.11).

Полное сопротивление контура Z определим по закону Ома:

Амплитуда силы тока в последовательном контуре равна

Таким образом, с помощью диаграммы
ток-напряжение мы получили те же значения I_m, U_m и Z, что и при решении уравнения вынужденных колебаний (1.9.11-1.9.13).