Сложение колебаний одинакового направления. Биения

а) Рассмотрим два колебания с одинаковыми частотами:

,

.

Представим эти колебания с помощью вектора-амплитуды и сложим их графически (рис.1.6.1).

Из рисунка следует, что результирующее смещение (x_рез = x₁+x₂)имеет вид

(1.6.1)

Рис. 1.6.1

Таким образом, результирующее колебание будет гармоническим. Амплитуду результирующего колебания найдем по теореме косинусов:

(1.6.2)

Вектор вращается с той же угловой скоростью . Амплитуда результирующего колебания зависит от разности фаз складываемых колебаний - (). Если - =2 kp, (k = 0,1,2), то А_рез=А₁+А₂ (колебания в фазе).

Если =(2 k +1)p, то , следовательно, колебания в противофазе.

Угол , образованный вектором с осью х в начальный момент времени, равен:

(1.6.3)

б) Рассмотрим два колебания с разными круговыми частотами:

x₁= x₂= (1.6.4)

Векторы и вращаются с разными угловыми скоростями (w₁ ¹ w ₂), разность фаз колебаний () const, поэтому меняется величина результирующей амплитуды: А_рез const. Результирующее колебание не является гармоническим. Его можно представить в следующем виде:

x_рез(t)=x₁(t)+x₂(t)=A(t) (1.6.5)

Практический интерес представляет результат сложения колебаний с близкими частотами. В этом случае A (t) и j (t) медленно меняющиеся функции времени, а колебательный процесс называется биениями. В случае равных амплитуд A₁=A₂=A уравнения (1.6.4) можно сложить и получить уравнение биений:

(1.6.6)

Колебания вида (1.6.6) называются амплитудно-модулированными, причем амплитуда изменяется по закону:

A(t)= . (1.6.7)

Величина A(t) периодически изменяется в пределах от до A₁+A₂ с частотой, называемой частотой биений:

. (1.6.8)

Частота результирующего колебания определяется формулой

. (1.6.9)

На рис.1.6.2 представлены биения, описываемые уравнением (1.6.6) при = 0.

Рис.1.6.2