Электрический колебательный контур без затухания. Квазистационарные токи. Закон Ома для контура

В цепи, содержащей индуктивность и емкость, могут возникать электрические колебания, то есть периодически могут меняться:

1) заряд на обкладках конденсатора;

2) напряжение на конденсаторе;

3) сила тока, текущего через индуктивность;

4) энергии электрического и магнитного поля, запасаемые соответственно в конденсаторе и в катушке индуктивности.

I

I

Поэтому такие цепи называются колебательными контурами. На рис. 1.3.1 изображены последовательные стадии колебательного процесса в идеальном контуре (R= 0).

Рис. 1.3.1

Если зарядить конденсатор (стадия 1), между обкладками возникает электрическое поле, энергия которого равна Если отключить источник тока и замкнуть конденсатор на индуктивность, он начнет разряжаться, и в контуре потечет ток. Энергия электрического поля будет уменьшаться, а энергия магнитного поля - возрастать. Максимальное значение этой энергии (стадия II, рис.1.3.1) равно

.

Если не учитывать излучения, то при отсутствии активного сопротивления R полная энергия W системы будет оставаться постоянной:

. (1.3.2)

Изменяющееся магнитное поле породит ЭДС самоиндукции, которая, согласно правилу Ленца, будет препятствовать изменению тока. Произойдет перезарядка обкладок конденсатора (стадия III, рис.1.3.1). Затем те же процессы протекают в обратном направлении (стадии IV, V, рис.1.3.1).

Проведем аналогию между механическими и электрическими колебаниями (таблица 1.3.1).

Таблица 1.3.1

Механика	Электромагнетизм
x - смещение	q – заряд
скорость	-ток
m - масса	L – индуктивность
k – коэффициент упругости	обратная емкость
потенциальная энергия	энергия электрического поля
кинетическая энергия	энергия магнитного поля

В дальнейшем будем рассматривать только квазистационарные токи, то есть токи, мгновенное значение которых в любом сечении цепи будем считать практически одинаковым.

Для периодически меняющихся токов условие квазистационарности имеет вид

<< T, (1.3.3)

где - время передачи электромагнитного сигнала в самую отдаленную точку цепи, l - длина электрической цепи, C - скорость света, равная 3×10⁸ м/с, T - период колебания.

Мгновенные значения квазистационарных токов подчиняются закону Ома и правилам Кирхгофа. Промышленный ток ( =50 Гц) квазистационарен для цепей длиной ~100км.

Рассмотрим свободные гармонические колебания в идеализированном колебательном контуре (R = 0) (рис. 1.3.2).

Рис. 1.3.2

Запишем второе правило Кирхгофа для контура

IR + j₁ - j₂ = e _s, (1.3.4)

где , j₁ - j₂ = .

Так как R= 0, (1.3.4) принимает вид

0+ .

Учитывая, что I = , уравнение перепишем в виде

.

Если разделить это уравнение на L и ввести обозначение

(1.3.5)

получим линейное дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний в колебательном контуре:

. (1.3.6)

Решением уравнения (1.3.6) является функция

q(t)=q_mcos(w₀t+j₀). (1.3.7)

Таким образом, заряд на обкладках конденсатора изменяется по гармоническому закону с циклической частотой, определяемой формулой (1.3.5). Эта частота называется собственной циклической частотой контура.

Период колебаний зависит только от параметров контура и определяется формулой Томсона:

. (1.3.8)

Напряжение на конденсаторе меняется по закону

, (1.3.9)

где (1.3.10)

Изменение силы тока в цепи происходит по закону

(1.3.11)

где . (1.3.12)

Из сравнения (1.3.9) и (1.3.11) следует, что сила тока в цепи опережает по фазе напряжение на конденсаторе на (рис.1.3.3).

Рис. 1.3.3

Из (1.3.10) и (1.3.12) следует связь между максимальными значениями силы тока и напряжения в цепи:

(1.3.13)

Введем обозначение:

. (1.3.14)

Величина r называется волновым сопротивлением контура.

Таким образом, закон Ома для идеального колебательного контура имеет вид

U_m=rI_m. (1.3.15)