Приняв во внимание известные соотношения

и ,

перепишем уравнение (1.9.2) в виде

Разделив обе части уравнения на L и учтя ранее принятые обозначения (1.3.5) и (1.8.2), получим дифференциальное уравнение вынужденных колебаний в контуре:

(1.9.3)

Решение уравнения (1.9.3) в случае установившихся колебаний имеет вид

q(t) = q_m(w)cos[wt-a(w)]. (1.9.4)

Таким образом, изменение заряда в контуре со временем представляет собой гармоническое колебание с частотой w, равной частоте внешнего напряжения.

Начальная фаза колебания a(w) определяется соотношением:

(1.9.5)

Амплитуда заряда пропорциональна амплитуде внешнего напряжения и зависит от частоты внешнего воздействия:

. (1.9.6)

Зависимость q_m от частоты w приводит к тому, что при некоторой частоте w_рез контур оказывается наиболее отзывчивым на внешнее воздействие, и амплитуда заряда достигает максимального значения. Это явление называют резонансом, а частоту w_рез называют резонансной частотой.

Напряжение на конденсаторе будет изменяться по закону:

(1.9.7)

где . (1.9.8)

Из (1.9.8) следует, что амплитудное значение напряжения на конденсаторе зависит от частоты внешнего воздействия.

Силу тока в контуре найдем, взяв производную по t от выражения (1.9.4):

(1.9.9)

Из (1.9.9) следует, что амплитудное значение силы тока также зависит от частоты внешнего воздействия и определяется формулой

. (1.9.10)

Если подставить в (1.9.10) значения то получим

(1.9.11)

Уравнение (1.9.11) является законом Ома для переменного тока. Отметим, что это соотношение справедливо только для амплитудных значений тока и напряжения. Из закона Ома следует, что знаменатель в формуле (1.9.11) представляет собой сопротивление контура. Его обозначают Z и называют полным электрическим сопротивлением контура или импедансом.

Таким образом:

(1.9.12)

где (1.9.13)

Выражение (1.9.13) позволяет рассчитать полное сопротивление контура, у которого R, L и C включены последовательно. Обратимся к закону изменения силы тока (1.9.9).

Если ввести обозначение , то формулу(1.9.9) можно записать в виде

I(t) =I_m(ω)cos(ωt – φ). (1.9.14)

Из сравнения (1.9.1) и (1.9.14) видно, что φ представляет собой сдвиг фаз между током в контуре и приложенным внешним напряжением.

Из-за сдвига фаз φ закон Ома не справедлив для мгновенных значений силы тока I (t) и напряжения U (t).

Выясним, от чего зависит сдвиг фаз φ. Из обозначения φ=a - следует:

Учитывая формулу (1.9.5), получаем для tgj выражение:

. (1.9.15)

Из формулы (1.9.15) следует, что сдвиг фаз в цепи переменного тока определяется соотношением между величинами R, L, C и зависит от частоты внешнего напряжения.

При сдвиг фаз j > 0. Зависимость силы тока от времени (1.9.14) имеет вид

I=I_m(w)cos(wt-j).

Из сравнения этого выражения с (1.9.1) видно, что ток отстает по фазе от напряжения. При сдвиг по фазе между током и напряжением j < 0 и уравнение (1.9.14) имеет вид

I(t)=I_m(w)cos(wt+j),

то есть ток опережает напряжение (1.9.1) по фазе.