![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Введемо такі позначення:
N 0 – кількість особин на початку спостереження (у момент t = 0);
N – чисельність популяції в довільний момент часу t;
Δ N – приріст чисельності за досить малий проміжок часу Δ t (умову «достатньої малості» ми обговоримо дещо пізніше). Тоді
вираз матиме смисл середньої швидкості приросту чисельності за цей проміжок.
Цілком природно, що середня швидкість приросту популяції має залежати, в першу чергу, від чинників, що характеризують здатність особин до відтворення й одночасно – їхню здатність до виживання. Введемо відповідні параметри:
а – коефіцієнт народжуваності;
b – коефіцієнт смертності.
Цим коефіцієнтам надамо такого смислу: якщо чисельність
популяції в деякий момент часу складає N особин, то за проміжок часу Δ t від них народжуються aN особин і одночасно bN особин
гинуть. У такому разі ефективний приріст чисельності D N = (a – b)· N, причому в разі зростання чисельності а > b, а при її зменшенні а < b.
Позначимо далі k = а – b. У математичній екології параметр k є кількісною характеристикою здатності популяції до чисельного зростання і називається коефіцієнтом приросту.
Спостереження показують, що в природних умовах
1) параметри a і b, а отже і k, змінюються з часом (з віком особин);
2) у багатьох біологічних видів моменти появи потомства від окремої особини мають зазвичай майже періодичний характер, але у великій сукупності різних особин ці періоди можуть перекриватися, так що фактично потомство з’являється постійно й неперервно.
З метою спрощення приймемо ряд припущень.
Припущення 1. Вважатимемо, що за незмінних зовнішніх умов
– коефіцієнт народжуваності k є постійною в часі величиною;
– народження й загибель особин відбуваються неперервно;
– тривалість життя кожної особини значно менша за час «спостереження» (час моделювання).
Нехай за деякий і -й досить малий інтервал часу Δ t (і – порядковий номер інтервалу) чисельність популяції зростає на D N. Тоді на початок наступного такого ж інтервалу з номером і +1 чисельність складатиме Nі+ 1. Зрозуміло, що більша кількість особин за такий
самий проміжок часу Δ t даватиме більший приріст D N, тому середня швидкість приросту D N /Δ t повинна зростати. За незмінних зовнішніх умов швидкість приросту залежить від чисельності популяції в даний момент. Проте вигляд цієї залежності нам невідомий і може бути різним. Маючи на меті створення простої моделі, приймемо
Припущення 2. Нехай залежність середньої швидкості приросту від чисельності популяції в даний момент є простою – прямою пропорційною:
. (1)
Якщо переписати (1) у вигляді
Δ N = k · N ·Δ t, (2)
то можна сказати, що за будь-який достатньо малий проміжок часу Δ t приріст Δ N чисельності пропорційний як кількості особин на
початку проміжку Δ t, так і тривалості цього проміжку.
Вираз (2) є записаним, як то кажуть, у формі кінцевих різниць.
Характерною властивістю рівнянь такого виду є те, що вони справедливі лише для малих приростів аргументів, підстановка в них довільних значень аргументів є некоректною.
Згідно (1) або (2)
,
тобто чисельно параметр k дорівнює відносному приросту Δ N / N за одиницю часу.
Рівняння (1) уперше було запропоноване в 1798 р. англійським вченим Томасом Мальтусом і в математичній екології дістало назву «Модель Мальтуса».
Це рівняння містить невідому величину N і швидкість її зміни D N /Δ t.
Вище вже відзначалося, що засобами елементарної математики рівняння такого типу не розв’язуються, тому скористаємося чисельним методом – покроковим розв’язуванням:
1. У початковий момент часу (t = 0) покладемо N=N 0 і Δ N = 0.
2. Наступний момент візьмемо в кінці першого проміжку Δ t і згідно (2) обчислимо Δ N – зміну кількості особин за цей проміжок.
3. Знайдемо нову кількість особин Nі, додаючи до попереднього значення Nі- 1 щойно обчислену зміну
Nі = Nі- 1 + Δ N. (3)
4. Підстановкою (2) в (3) отримаємо
Nі = Nі- 1 + k·Nі- 1·Δ t. (4)
5. Повторюючи пункти 2 і 3 для наступних проміжків часу
tі = tі – 1 +Δ t, знаходитимемо відповідні нові значення N.
Рівняння (2) і (3) або (4) є математичною моделлю динаміки
одновидової популяції за відсутності обмежень. Вони дозволяють знайти чисельність популяції в інтервалі Δ t з номером і, якщо відома чисельність на попередньому інтервалі з номером (і -1). Рівняння (4), таким чином, є рекурентним.
Як і раніше, швидкість приросту D N /Δ t можна оцінювати за значеннями приростів D N, оскільки всі проміжки Δ t однакові.
Зауваження 1. Проміжки часу Δ t, які фігурують у даній математичній моделі, як і самий час t, доцільно представляти в умовних одиницях. Залежно від біологічного виду це можуть бути хвилини, години, роки тощо Важливо лише, щоб ці проміжки Δ t були набагато меншими за час моделювання, і щоб протягом такого проміжку приріст чисельності Δ N становив малу частку від загальної кількості особин N на даний момент. Саме в такий спосіб і буде задовольнятися умова «достатньої малості» проміжку часу. Що може відбуватися з моделлю при порушенні цієї умови, ми обговоримо пізніше.
Оскільки задача сформульована і створена її математична
модель, запишемо
Дата публикования: 2015-01-13; Прочитано: 355 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!