![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Вже давно добре відомо, що в живій природі жодна тенденція зростання не може бути необмеженою, оскільки кожен з використовуваних ресурс завжди має певну природну межу. Тому й розмноження кожного виду в природі саморегулюється так, щоб цей вид зберігався в процесі еволюції. З урахуванням цього факту слід визнати, що модель Мальтуса містить суттєвий недолік: вона ігнорує
залежність коефіцієнта смертності b від кількості особин N, тобто не враховує, таким чином, обмеженості ресурсів. То ж, якщо коефіцієнт народжуваності визначається в основному генетично, то на коефіцієнт смертності істотний вплив чинить середовище мешкання.
Наступний крок у напрямі вдосконалення моделі був зроблений в 1845 р. німецьким математиком П. Ферхюльстом, який увів до
моделі Мальтуса деякі обмеження. Розглянемо їх.
З плином часу при k > 0 кількість особин буде збільшуватись, і їм вже не вистачить їжі, вільного простору, і можливо, деяких інших ресурсів середовища. Тому подальший приріст чисельності вже не буде відповідати рівнянню (2).
За розглянутих умов виникатиме конкуренція, що призведе до зменшення швидкості приросту у відповідності до схеми:
Збільшення швидкості приросту
(згідно моделі Мальтуса)
↓
Збільшення чисельності популяції
↓
Зменшення ресурсів середовища
↓
Зростання смертності
↓
Зменшення швидкості приросту
Але оскільки можливий вид залежності коефіцієнта смертності b від кількості особин N нам заздалегідь невідомий, приймемо для спрощення чергове
Припущення 3. Будемо вважати, що коефіцієнт смертності b
лінійно залежить від кількості особин:
b = d + q·N,
де d і q – деякі сталі.
Таке припущення має обґрунтування: як відомо з математики, при достатньо малій зміні значень аргументу довільну гладку функцію можна з непоганим наближенням замінити лінійною функцією.
З урахуванням останнього виразу маємо для k нове значення:
k = a – b = a – (d + qN) = a – d – qN.
Виконуючи далі заміну p = а – d, замість (2) отримуємо
Δ N = (p – q·N) ·N· Δ t, (6)
де p – параметр, що враховує здатність популяції до відтворення
(у цій моделі р відіграє роль, аналогічну k з попередньої моделі);
q – параметр, що враховує наявність конкуренції, q ≥ 0.
Як, на вашу думку, поведе себе модель за умови q = 0?
Параметр р дістав назву «коефіцієнта відтворення», а параметр
q – «коефіцієнта опору середовища». Параметр р є сталим у часі,
тому що сталими в часі вважалися параметри а і d.
Оскільки
Nі = Nі– 1 + Δ N, (3)
то за аналогією до (4) можна записати:
Nі = Nі- 1 + (p – q·Nі- 1) ·Nі- 1 · Δ t. (7)
Рівняння (3) і (6) або (7) є математичною моделлю динаміки
популяції з урахуванням конкуренції, пов’язаної з обмеженням ресурсів середовища.
У математичній екології ці рівняння мають назву «модель
Ферхюльста-Перла».
Точний аналітичний розв’язок рівняння (6) має вигляд складної функції. Ми ж, як і у попередній версії моделі, вдамося до покрокового чисельного методу розв’язування.
У зв’язку зі змінами, що їх зазнала модель, відповідним чином змінимо й
Дата публикования: 2015-01-13; Прочитано: 621 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!