Обчислювальний експеримент. 1. Надайте параметрам моделі наступні значення:

1. Надайте параметрам моделі наступні значення:

N ₀ = 10000; M ₀ = 1; k = 0,1; Δ t = 0,1.

Це означає, що в початковий момент в групу з десяти тисяч здорових людей потрапляє один хворий – носій інфекції.

1.1. Підготуйте необхідну електронну таблицю і заповніть 22 її рядки (один екран). З таблиці видно, що вже на шостому кроці перестає виконуватися умова стійкості різницевого рівняння (4).

1.3. Для виправлення ситуації зменшимо проміжок Δ t на один порядок, тобто введемо Δ t = 0,01. Тепер, схоже, все гаразд.

2. Розглядаючи декілька останніх рядків таблиці, бачимо, що
через деякий час хворими стають усі представники групи. Дійсно, нові хворі не з’являються (Δ М = 0), а загальна кількість хворих складає 10001 згідно (1). За цією таблицею побудуємо графіки залежності від часу кількості хворих М = M (t), кількості здорових N = N (t),а також графік Δ М= Δ M (t).

3. Зменшимо проміжок Δ t ще удвічі: Δ t = 0,005. Спостерігаємо уповільнення зміни Δ M і М. Таким чином, тепер для завершення розрахунків нам необхідно буде довести кількість повторень майже до 50. Проте суттєвих якісних змін у відповідних таблицях й у графіках ми не виявляємо. Ось і виходить, що останнє зменшення Δ t було
необов’язковим. Тому залишимо Δ t = 0,01.

4. Значеннями результатів у стовпці для Δ M є виключно додатні числа. Це означає, що кількість хворих із часом лише збільшується, що видно із стовпця для М, а в описі моделі якраз і відзначається, що в напрямі боротьби з хворобою нічого не робиться, отже ніхто й не видужує. Тут ми не встановили нічого нового, але на цьому факті побачили, що наша модель правильно відбиває заздалегідь очікуваний результат. Розробники моделей навіть спеціально вдаються до подібних дій, вводячи такі вхідні дані, за якими має відтворитися
заздалегідь очікуваний результат. Нагадаємо, що така робота – тестування моделі – має виконуватися завжди.

5. З’ясуємо тепер, як позначиться на часі розвитку епідемії збільшення удвічі початкової кількості хворих, тобто при M ₀=2? Чи буде правильною відповідь, що така заміна приведе до помітного скорочення цього часу? Тут у нас є можливість перевірити відповідь на моделі, поклавши M ₀=2. Результат спростовує запропоновану відповідь! Час поширення епідемії дійсно скорочується, проте... скорочення це майже непомітне – всього один рядок таблиці, один проміжок Δ t. Цей результат, взагалі кажучи, можна було б передбачити при уважному перегляді таблиці при М ₀=1: адже М = 2 з’являється тут саме в другому рядку.

6. Середню швидкість поширення епідемії Δ M /Δ t можна оцінювати за значеннями приростів Δ M, оскільки всі проміжки Δ t однакові. І таблиця, і графік Δ M =Δ M (t), що відповідає їй, дають можливість побачити, що швидкість поширення епідемії не є постійною. Дійсно, якщо розглянути в таблиці стовпець для Δ M, то видно, що ця швидкість змінюється складним чином: спочатку швидко росте, а у кінці спадає. З таблиці легко дізнатися, на якому навіть такті процесу швидкість досягає максимального значення. Але та наочність, яку здатний забезпечити графік, не йде ні в яке порівняння з табличною. Якщо одночасно вивести на екран графіки залежності Δ M =Δ M (t), M = M (t) і N = N (t), то отримана з них інформація буде привабливішою і зручнішою для порівняльного аналізу.

Виконайте таку побудову й аналіз кожного з графіків.

Вправа

1. Як визначають значення коефіцієнтів моделі, зокрема, k?

2. Якою є ознака того, що проміжок Δ t вибраний занадто великим або занадто малим?

3. Який смисл слід було б надати появі негативних значень у стовпці для Δ M?

4. Експериментально доведіть, що добуток двох обмежених змінних, які змінюються у протилежних напрямах (у нашій моделі такими є змінні M і N), стає максимальним, коли змінні набувають однакових значень. Скористайтеся отриманим результатом для того, щоб прокоментувати графік залежності Δ M =Δ M (t).