Обчислювальний експеримент. Уведемо початкові значення змінних: N0=100; k=0,25; Δt=0,1

Уведемо початкові значення змінних: N ₀ = 100; k= 0,25; Δ t= 0,1. На рис. 4.1 показано зміни в часі величин Δ N і N.

	A	B	C	D	E
	t	Δ N	N	Дано:
				N 0=
	0,1			k =	0,25
	0,2			Δ t =	0,1
	0,3
	0,4
	0,5
	0,6
...	...	...	...

Рис. 4.1

З таблиці легко бачити, що

1) чисельність N популяції з часом монотонно росте, росте й
середня швидкість Δ N /Δ t приросту популяції;

2) значення змінних N і Δ N є несумірними, а саме N ≫Δ N, тому графіки залежностей N = N (t) і Δ N = Δ N (t) доцільно виводити на різних осях: N = N (t) – на основній, а Δ N = Δ N (t) – на допоміжній.

Вправи

1. Як за таблицею встановити, що залежність чисельності від часу N = N (t) не є лінійною функцією?

Визначте, через який час початкова чисельність збільшиться удвічі? Ще удвічі?

2. Чи можна зробити висновок, що в цій моделі послідовні
подвоєння чисельності відбуваються через однакові проміжки часу?

3. Чи виконується така ж закономірність для Δ N – приростів
чисельності популяції?

4. Візьміть два однакові за тривалістю проміжки часу (наприклад, 2Δ t або 3Δ t) і знайдіть на кожному з них відношення кінцевої чисельності до початкової. Виконайте це у вільних комірках таблиці.

5. Повторіть завдання з якими-небудь іншими, але знову однаковими проміжками часу. Порівняйте результати, зробіть висновки.

Зауваження 2. Аналітичний розв’язок рівняння (1) в математиці добре відомий. Він має вигляд:

N = N ₀ e^kt, (5)

де N ₀ – кількість особин в початковий момент часу t = 0;

е = 2,718... – основа натуральних логарифмів; його називають числом Ейлера на честь видатного математика ХVІІІ ст.

Завдання 2-5 із вправи на практиці знайомлять з деякими властивостями показової функції (5).

Завдання 6. Період подвоєння населення Землі у наш час складає близько 40 років. Якби швидкість приросту чисельності не змінювалася з часом, то чи можна було б стверджувати, що

а) кількість людей, які живуть на Землі сьогодні, більша за кількість померлих за останні 1000 років?

б) швидкість приросту чисельності більша за кількість усіх
людей, які колись померли?

в) яким би тоді мав бути час існування людства? То чи зміню­валася швидкість приросту населення? Якщо так, то як саме?

г) як треба було б змінити вхідні дані в таблиці, щоб перевірити свої відповіді за допомогою цієї моделі? Виконайте таку роботу.