![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Увесь час «спостереження» розіб’ємо на досить малі однакові проміжки (інтервали) Δ t (малі в порівнянні з тривалістю епідемії).
Переходячи до формалізації, введемо позначення:
і – порядковий номер проміжку Δ t;
Мі, Nі – відповідно кількість хворих і здорових людей у довільний проміжок часу з номером і.
На початку спостереження і = 0, отже Mі = M 0, Nі = N 0.
Згідно з Припущенням 1 у довільний момент часу
Mі + Nі = M 0 + N 0. (1)
Замітимо тут, що Мі і Nі – величини змінні, з часом вони монотонно змінюються в протилежних напрямах: у міру зростання Мі відбувається спадання Nі.
Припущення 5. Приріст чисельності хворих Δ Mі пропорційний тривалості проміжку часу Δ t і кількості зустрічей здорових людей з хворими за цей проміжок.
Припущення 6. Кількість зустрічей пропорційна як кількості хворих (Mі), так і кількості здорових (Nі) людей, на початок і -го проміжку Δ t. У такому разі кількість зустрічей пропорційна добутку Mі і Nі.
На основі Припущень 5 і 6 можна записати:
Δ M = k Mі Nі Δ t, (2)
де 0 < k < 1 – коефіцієнт пропорціональності, який назвемо коефіцієнтом зараження. Цей коефіцієнт має статистичний смисл і враховує, в першу чергу, такі чинники, як ймовірність зустрічей і сприйнятливість до хвороби деякої окремої людини. Відмітимо, що різні індивіди в групі можуть проявляти різну сприйнятливість до хвороби, внаслідок чого в міру протікання епідемії спочатку захворюватимуть найбільш сприйнятливі, а в кінці залишатимуться найстійкіші. Одночасно зменшуватиметься ймовірність зустрічей. Це означає, що числове значення k можна брати сталим.
Припущення 7. Нехай коефіцієнт зараження k є незмінним у часі.
З (1) маємо:
Nі = M 0 + N 0 – Mі (3)
і після підстановки (3) в (2) остаточно отримуємо:
Δ Mі = kMі- 1(M 0 + N 0 – M і- 1)Δ t. (4)
Знайдемо нову кількість хворих Мі, додаючи до її попереднього значення Мі – 1 щойно обчислений приріст Δ M:
Мі = Мі – 1 + Δ Mі . (5)
Рівняння (4) і (5) є спрощеною математичною моделлю епідемії.
Якщо вони будуть розв’язані відносно Mі, то ми зможемо прогнозувати хід епідемії.
Про рівняння (4) говорять, що воно записане у формі кінцевих різниць. У шкільній математиці не вивчаються аналітичні методи розв’язування рівнянь такого виду. Тому для досягнення кінцевої мети виконаємо це розв’язування чисельним методом в середовищі електронних таблиць. Будемо виводити на екран результати у вигляді таблиць і відповідних графічних залежностей змінних Δ Mі, Mі і Nі від часу.
Дата публикования: 2015-01-13; Прочитано: 308 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!