Створення моделі: математична модель

Увесь час «спостереження» розіб’ємо на досить малі однакові проміжки (інтервали) Δ t (малі в порівнянні з тривалістю епідемії).

Переходячи до формалізації, введемо позначення:

і – порядковий номер проміжку Δ t;

М_і, N_і – відповідно кількість хворих і здорових людей у довільний проміжок часу з номером і.

На початку спостереження і = 0, отже M_і = M ₀, N_і = N ₀.

Згідно з Припущенням 1 у довільний момент часу

M_і + N_і = M ₀ + N ₀. (1)

Замітимо тут, що М_і і N_і – величини змінні, з часом вони монотонно змінюються в протилежних напрямах: у міру зростання М_і відбувається спадання N_і.

Припущення 5. Приріст чисельності хворих Δ M_і пропорційний тривалості проміжку часу Δ t і кількості зустрічей здорових людей з хворими за цей проміжок.

Припущення 6. Кількість зустрічей пропорційна як кількості хворих (M_і), так і кількості здорових (N_і) людей, на початок і -го проміжку Δ t. У такому разі кількість зустрічей пропорційна добутку M_і і N_і.

На основі Припущень 5 і 6 можна записати:

Δ M = k M_і N_і Δ t, (2)

де 0 < k < 1 – коефіцієнт пропорціональності, який назвемо коефіцієнтом зараження. Цей коефіцієнт має статистичний смисл і враховує, в першу чергу, такі чинники, як ймовірність зустрічей і сприйнятливість до хвороби деякої окремої людини. Відмітимо, що різні індивіди в групі можуть проявляти різну сприйнятливість до хвороби, внаслідок чого в міру протікання епідемії спочатку захворюватимуть найбільш сприйнятливі, а в кінці залишатимуться найстійкіші. Одночасно зменшуватиметься ймовірність зустрічей. Це означає, що числове значення k можна брати сталим.

Припущення 7. Нехай коефіцієнт зараження k є незмінним у часі.

З (1) маємо:

N_і = M ₀ + N ₀ – M_і (3)

і після підстановки (3) в (2) остаточно отримуємо:

Δ M_і = kM_{і- 1}(M ₀ + N ₀ – M _{і- 1})Δ t. (4)

Знайдемо нову кількість хворих М_і, додаючи до її попереднього значення М_{і – 1} щойно обчислений приріст Δ M:

М_і = М_{і – 1} + Δ M_і . (5)

Рівняння (4) і (5) є спрощеною математичною моделлю епідемії.

Якщо вони будуть розв’язані відносно M_і, то ми зможемо прогнозувати хід епідемії.

Про рівняння (4) говорять, що воно записане у формі кінцевих різниць. У шкільній математиці не вивчаються аналітичні методи розв’язування рівнянь такого виду. Тому для досягнення кінцевої мети виконаємо це розв’язування чисельним методом в середовищі електронних таблиць. Будемо виводити на екран результати у вигляді таблиць і відповідних графічних залежностей змінних Δ M_і, M_і і N_і від часу.