Зведення рівняння кривої другого порядку до канонічного вигляду

Обмежимося рівнянням вигляду:

, (6.9)

в якому принаймні один з коефіцієнтів а , а₂ відмінний від нуля.

Припускаємо, що рівняння (6.9) визначає невироджену криву 2-го порядку: еліпс, гіперболу, параболу. Випадок виродженої кривої: пряма, пара паралельних або пересічних прямих не розглядаємо

Подібно до рівняння кола з центром у точці ()

канонічне рівняння еліпса та гіперболи з центром у точці ()

, , (6.10)

а канонічні рівняння параболи з вершиною у точці ()

, (вісь параболи ) (6.11)

, (вісь параболи ). (6.12)

Вісь параболи відповідає змінній, яка у рівняннях (6.11)-(6.12) у другому степені. Приведення рівняння (6.9) до канонічного вигляду розглянемо на прикладах.

Приклад 6. Привести рівняннякривоїдо канонічного вигляду, визначити

тип кривої та побудувати ескіз її графіку:

а) б)

в) г) .

Розв’язання. а) 1. Групуємо доданки, які містять тільки та тільки , доповнюємо їх до повного квадрату та зводимо до вигляду (6.10)-(6.12):

= = +36–

–36=0 . Отримано гіперболу з центром у точці ()=(2;–3) та півосями , .

2. Будуємо для еліпса та гіперболи прямокутник П з центром у точці (), а потім ескіз графіку (рис.22,а).

б) 1. Робимо як у прикладі 6,а):

. 2, Еліпс з центром у точці ()=(–1;2) та півосями , (рис.22,в).

а	б в г Рис. 22

в)

– парабола, вісь , 2 р =4, р =2, Вершина ()=(–3;-5) (рис.22,б)

г)

– парабола, вісь у=2, 2 р =–4, р =–2, Вершина ()=(1;2) (рис.22,г)