Парабола

Наведемо геометричне означення параболи. Нехай на площині задані пряма та точка , відстань поміж якими дорівнює

Означення 3. Параболою називається множина точок площини, рівновіддалених від F та d:

, (6.7)

де - основа перпендикуляра, який опущено на пряму d з точки М. Точка F називається фокусом параболи, а пряма d - директрисою. Одержимо рівняння параболи. Вісь Оу напрямимо паралельно директрисі на однаковій відстані від неї і фокуса, а вісь Ох проведемо так, щоб фокус лежав на додатній піввісі (рис.19). В цій системі координат фокус має координати , а рівняння директриси . Рівність (6.8) набуває вигляд:

(6. )

Після піднесення до квадрата обох частин (6. ), і зведення подібних одержимо

рівняння (6.8)

яке називається канонічним рівнянням параболи

Точка О називається вершиною параболи. Парабола має з довільною прямою не більше ніж дві загальні точки. Якщо парабола лежить по один бік від прямої і має з нею загальну точку М₀,то ця пряма називається дотичною до параболи в точці М₀. Вісь Оу є дотичною в вершині параболи.

Рівняння є рівнянням параболи з віссю Оу. Фокус цієї параболи знаходиться на вісі Оу.

Рис.19

Рис.19.1

Можна показати, що дотична до параболи в довільній точці М є бісектрисою кута . Цей результат є виразом „ оптичної властивості” параболи: проміні що, виходять з точкового джерела, який знаходиться в фокусі, після дзеркального відбиття від параболи ідуть паралельно її вісі (рис.19.1). Тому телескопи, прожектори, антени виготовляють у вигляді параболічного дзеркала, яке має форму поверхні, що одержана обертанням параболи навколо її осі.

Приклад 5. Скласти рівняння параболи, вершина якої знаходиться в початку коор-динат, якщо відомо, що: а) парабола симетрична відносно осі Ох та проходить через точку (-3;3); б) парабола симе трична відносно осі Оу та проходить через точку .

Розв’язання. а) Оскільки ,то парабола розташована в лівій півплощині і має

рівняння .

Підставимо в це рівняння координати точки і знайдемо: .Фокус параболи знаходиться в точці , а її рівняння (рис.20).

Рис.20

Рис.21

б) Оскільки , то парабола розташована в верхній півплощині і має рівняння . Підставимо в це рівняння координати точки :

. Рівняння параболи , а її фокус знаходиться у точці (рис.21).