![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Дамо геометричне означення гіперболи. Нехай на площині вказані дві точки F1 та F2, відстань |F1F2| поміж якими дорівнює 2с.
Означення 2. Гіперболою називається множина точок М площини, різниця відстані від яких до точок F1 та F2 дорівнює
±2 а :
. (6.5)
Точки F1 та F2 називаються фокусами гіперболи.
Для отримання рівняння гіперболи впровадимо в розгляд систему координат тим же чином, що і у випадку еліпса (рис.16). Повторюючи, по суті справи, викладки, які були наведені для еліпса, одержимо рівняння Введемо позначення
і поділимо ліву та праву частини останнього рівняння на а2×b2. Приходимо до рівняння
. (6.6)
яке називається канонічним (стандартним) рівнянням гіперболи.
Гіпербола симетрична відносно осей координат. Гіпербола перетинається з віссю Ох в точках А1 (а;0) та А2 (-а;0) і не перетинається з віссю Оу. Точки А1 та називаються вершинами гіперболи. Гіпербола розпадається на дві вітки (знак "+" в (6.6) відповідає лівій вітці, а знак "-" – правій). Прямі у = ±
х, на яких лежать діагоналі прямокутника П= { -a£ x £ a, -b £ y £ b }, називаються асимптотами гіперболи. Число
називається ексцентриситетом гіперболи .. Гіперболи подібні, якщо у них одинакові ексцентриситети. Можна показати, щодотична до гіперболи в точці М0 є бісектрисою кута F2M0F1. Цей факт виражає "оптичну властивість" гіперболи: якщо в одному фокусі помістити точкове джерело світла, то npoмені, відбиваючись дзеркально від гіперболи, здаються такими, що виходять з другого фокуса (рис. 16.1).
Рис.16 |
![]() Рис.16.1 |
Міжпланетні станції вирушають у політ по гіперболічним орбітам (відносно Землі), потім вони рухаються по еліптичним (відносно Сонця) орбітам в напрямку до вивчаємої планети, назавжди залишаючи Сонячну систему.
Приклад 3. Скласти рівняння гіперболи, фо-куси якої лежать на вісі абсцис симетрично відносно початку координат, якщо точки та
належать гіперболі. Визначити ексцентриситет гіперболи та координати її фокусів Розв'язання. Шукане рівняння гіперболи має вигляд
. Оскільки координати точок
та
задовольняють рівнянню гіперболи, то
Û
Отже, 1) рівняння гіперболи:
;
2) ексцентриситет ;
3) .
Приклад 4. Побудувати гіперболу у2 -4х2 = 16 та її асимптоти.
Знайти фокуси і ексцентриситет гіперболи.
Розв'язання. Розглядуване рівняння здобувається з канонічного шля-хом заміни x на у та у на х, Фокуси гіперболи лежать не на вісі Ох, а на вісі Оу (рис.18). Зведемо рівняння гіперболи до канонічного вигляду:
![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
рівняння асимптот мають вигляд . Взагалі, гіпербола
називається спряженою до гіперболи (6.7)
Дата публикования: 2015-01-13; Прочитано: 810 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!