![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
В цьому параграфі розглядається питання про те, які криві на площині описуються рівнянням другого степеня.
1. Коло. Нагадаємо відоме зі шкільного курсу означення кола. Колом з центром в точці С та радіусом R >0 називається множина М точок площини, які віддалені від С на відстань R: |MC| = R. (6.1)
Запровадимо у розгляд систему прямокутних координат хОу. Тоді довільна точка М кола має координати (х;у), а центр– (a;b). Оскільки , то з геометричної умови (6.1) одержимо рівність
, з якої після піднесення до квадрата маємо
. (6.2)
Навпаки, якщо пара чисел задовольняє рівнянню (6.2), то точка
знаходиться на відстані R від точки
і належить колу з центром в точці С і радіусом R. Отже (6.2) є рівнянням кола. Воно називається канонічним (стандартним) рівнянням кола з центром в точці
і радіусом R.
Еліпс
Нехай на площині є дві точки та
, відстань
поміж якими дорівнює 2с.
Означення 1. Еліпсом називається множина точок площини, сума відстаней від яких до точок
та
дорівнює 2 а
:
| MF1 | +| M F2 | =2a. (6.3)
При еліпс вироджується у відрізок F1 F2, а при а<c множина
точок М, для яких виконується умова (6.4) порожня.
Точка F1 та F2 називаються фокусами еліпса.
![]() | Перейдемо до координатного методу. З цією метою впровадимо систему координат хОу, вісі якої розташовані так, як показано на рис. 14.
В цій системі координат фокуси F1 та F2 і довільна точка М еліпса мають відповідно координати (с;0),(-с;0), (х;у). Оскільки
![]() ![]() |
то рівність (6.3) набуває вигляду
. (6.
)
Перетворимо рівняння (6. ) до більш простого вигляду.
. Впровадимо позначення
. Тоді одержимо рівняння
,(6.4)
яке називається канонічним (стандартним) рівнянням еліпса.
Побудуємо еліпс. Рівняння (6.4) для 1-ї чверті (6.
). Складемо таблицю
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
та будуємо графік функції (6. ).Оскільки з (6.4) випливає, що
при будь-якому виборі знаків у координат, то еліпс симетричний відносно осей координат (рис.15). Точки А1 (а;0), А2 (- а;0), В1 (0; b), В2 (0;- b) називаються його вершинами, а відрізки А2А 1, В2В 1 – великою і малою вісями. Числа а та b називаються відповідно довжинамивеликої і малої півосей еліпса. Еліпс розташований в середині прямокутника П { -а£ х£ а, -b£ у £ b }.
![]() | Число ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
сплющеним. Площа, яка обмежена еліпсом, дорівнює p×a×b.
Рис.15.1 | Еліпси, у яких ексцентриситети рівні, подібні. Відомо, що дотична до кола перпендикулярна до радіуса в точці дотику. У випадку еліпса цьому відповідає наступний факт: дотична до еліпса в точці М0 утворює однакові кути з відрізками F2М0 та F1M0. Тому, якщо розмістити в одному з фокусів |
еліпса точкове джерело світла, то промені, що дзеркально відбиваються від еліпса, збируться в другому його фокусі (рис. 15.1). З цього складається так звана “ оптична властивість" еліпса. Орбіти всіх планет Сонячної системи зображують собою еліпси з загальним фокусом, в якому розташоване Сонце. Ексцентриситет орбіти планети Плутон дорівнює 0,25, а ексцентриситет орбіти Землі дорівнює 0,017, отже її орбіта незначно відрізняється від кола.
Нехай r - відстань від центра Землі до точки запуску космічного корабля (r =6378×103 м на поверхні Землі), а m =398603×109 м3/с2 – геоцентрична гравітаційна стала. При
початкових швидкостях орбіта космічного корабля буде еліпсом, фокусом якого є центр Землі. Швидкості
та
називаються, відповідно, першою і другою космічними швидкостями. На поверхні Землі v1 =7,91 км/с, v2 =11,2 км/с.
Приклад 1. Скласти рівняння еліпса, фокуси якого розташовані на осі абсцис симетрично відносно початку координат, якщо точка належить еліпсу, а довжина його великої півосі дорівнює 4. Знайти ексцентриситет еліпса та координати його фокусів.
Розв'язання. Координати точки М0,яка належить еліпсу, повинні задовольняти рівнянню еліпса. Отже, рівняння еліпса: . Оскільки
, то
.Оскільки с=e×а, то
.
Приклад 2. Скласти рівняння еліпса, фокуси якого лежать на вісі ординат симетрично відносно початку координат. Відомо також, що довжина його малої осі дорівнює 6, а ексцентриситет .
Розв'язання. Довжина малої півосі . Оскільки
, то
Рівняння еліпса:
. Координати фокусів: F1(0;4), F2(0;-4).
Дата публикования: 2015-01-13; Прочитано: 475 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!