Криві другого порядку

В цьому параграфі розглядається питання про те, які криві на площині описуються рівнянням другого степеня.

1. Коло. Нагадаємо відоме зі шкільного курсу означення кола. Колом з центром в точці С та радіусом R >0 називається множина М точок площини, які віддалені від С на відстань R: |MC| = R. (6.1)

Запровадимо у розгляд систему прямокутних координат хОу. Тоді довільна точка М кола має координати (х;у), а центр– (a;b). Оскільки , то з геометричної умови (6.1) одержимо рівність , з якої після піднесення до квадрата маємо . (6.2)

Навпаки, якщо пара чисел задовольняє рівнянню (6.2), то точка знаходиться на відстані R від точки і належить колу з центром в точці С і радіусом R. Отже (6.2) є рівнянням кола. Воно називається канонічним (стандартним) рівнянням кола з центром в точці і радіусом R.

Еліпс

Нехай на площині є дві точки та , відстань поміж якими дорівнює 2с.

Означення 1. Еліпсом називається множина точок площини, сума відстаней від яких до точок та дорівнює 2 а :

| MF₁ | +| M F₂ | =2a. (6.3)

При еліпс вироджується у відрізок F₁ F₂, а при а<c множина

точок М, для яких виконується умова (6.4) порожня.

Точка F₁ та F₂ називаються фокусами еліпса.

Рис.14

Перейдемо до координатного методу. З цією метою впровадимо систему координат хОу, вісі якої розташовані так, як показано на рис. 14. В цій системі координат фокуси F1 та F2 і довільна точка М еліпса мають відповідно координати (с;0),(-с;0), (х;у). Оскільки

то рівність (6.3) набуває вигляду

. (6. )

Перетворимо рівняння (6. ) до більш простого вигляду.

. Впровадимо позначення . Тоді одержимо рівняння ,(6.4)

яке називається канонічним (стандартним) рівнянням еліпса.

Побудуємо еліпс. Рівняння (6.4) для 1-ї чверті (6. ). Складемо таблицю

та будуємо графік функції (6. ).Оскільки з (6.4) випливає, що при будь-якому виборі знаків у координат, то еліпс симетричний відносно осей координат (рис.15). Точки А₁ (а;0), А₂ (- а;0), В₁ (0; b), В₂ (0;- b) називаються його вершинами, а відрізки А₂А ₁, В₂В ₁ – великою і малою вісями. Числа а та b називаються відповідно довжинамивеликої і малої півосей еліпса. Еліпс розташований в середині прямокутника П { -а£ х£ а, -b£ у £ b }.

Рис.15

Число називається ексцентриситетом еліпса Оскільки , то . Ексцентриситет характеризує витягнутість еліпса вздовж більшої з осей. При еліпс перетворюється в коло. Оскільки , то при e, близьких до 1, еліпс є сильно

сплющеним. Площа, яка обмежена еліпсом, дорівнює p×a×b.

Рис.15.1

Еліпси, у яких ексцентриситети рівні, подібні. Відомо, що дотична до кола перпендикулярна до радіуса в точці дотику. У випадку еліпса цьому відповідає наступний факт: дотична до еліпса в точці М0 утворює однакові кути з відрізками F2М0 та F1M0. Тому, якщо розмістити в одному з фокусів

еліпса точкове джерело світла, то промені, що дзеркально відбиваються від еліпса, збируться в другому його фокусі (рис. 15.1). З цього складається так звана “ оптична властивість" еліпса. Орбіти всіх планет Сонячної системи зображують собою еліпси з загальним фокусом, в якому розташоване Сонце. Ексцентриситет орбіти планети Плутон дорівнює 0,25, а ексцентриситет орбіти Землі дорівнює 0,017, отже її орбіта незначно відрізняється від кола.

Нехай r - відстань від центра Землі до точки запуску космічного корабля (r =6378×10³ м на поверхні Землі), а m =398603×10⁹ м³/с² – геоцентрична гравітаційна стала. При

початкових швидкостях орбіта космічного корабля буде еліпсом, фокусом якого є центр Землі. Швидкості та називаються, відповідно, першою і другою космічними швидкостями. На поверхні Землі v₁ =7,91 км/с, v₂ =11,2 км/с.

Приклад 1. Скласти рівняння еліпса, фокуси якого розташовані на осі абсцис симетрично відносно початку координат, якщо точка належить еліпсу, а довжина його великої півосі дорівнює 4. Знайти ексцентриситет еліпса та координати його фокусів.

Розв'язання. Координати точки М₀,яка належить еліпсу, повинні задовольняти рівнянню еліпса. Отже, рівняння еліпса: . Оскільки , то .Оскільки с=e×а, то .

Приклад 2. Скласти рівняння еліпса, фокуси якого лежать на вісі ординат симетрично відносно початку координат. Відомо також, що довжина його малої осі дорівнює 6, а ексцентриситет .

Розв'язання. Довжина малої півосі . Оскільки , то Рівняння еліпса: . Координати фокусів: F₁(0;4), F₂(0;-4).