Основні означення

Система, яка має вигляд:

(3.1)

називається лінійною системою рівнянь з невідомими.

Коефіцієнтисистеми та вільні члени є відомими.

Числа невідомі, які необхідно знайти.

Матрицею коефіцієнтів системи (5.1) називається матриця

.

Розв'язком системи (5.1) називається такий набір чисел , який при підстановці в систему перетворює всі її рівняння в правильні числові рівності. Система називається сумісною, якщо вона має, принаймні, один розв'язок, і несумісною в протилежному випадку.

Якщо - всі вільні члени дорівнюють нулю, то система називається однорідною, а якщо хоча б один вільний член не дорівнює нулю, то неоднорідною.

Запровадимо у розгляд вектори

Тоді система (3.1) може бути записана одним матричним рівнянням

. (3.2)

Дві системи лінійних рівнянь називаються еквівалентними, якщо всі розв'язки першої системи є розв'язками другої і, навпаки, всі розв'язки другої є розв'язками першої. Відзначимо, що множення рівнянь на число, не рівне нулю, а також додавання до одного рівняння другого рівняння системи приводить до системи рівнянь, яка є еквівалентною початковій. Зрозуміло, що якщо в наслідок описаних раніше операцій ми одержимо рівняння з нульовими коефіцієнтами та нульовим вільним членом, то воно може бути відкинуте з розгляду (воно не дає ніякої інформації про ).