Розкладання визначника за елементами рядка

Теорема Лапласа (розкладання визначника за елементами рядка).

Визначник дорівнює сумі попарних добутків елементів деякого рядка на їх алгебраїчні доповнення:

(3)

Зрозуміло, що, за властивістю визначників 1, мають місце аналогічні формули розкладання визначника за елементами стовпця. Твердження теореми дозволяє знайти визначник -го порядку, якщо відомі відповідні визначники -го порядку. Тим самим визначник можна ввести індукцією по , вважаючи для (основа індукції)

Можна довести, що визначник -го порядку має властивості 1) - 6), які були встановлені для визначників другого порядку. При обчисленні визначника доцільно використовувати основні властивості (наприклад, 4), перетворюючи його так, щоб більшість елементів деякого рядка (стовпця) обертались на нуль.

Приклад 3. Знайти визначники: а) , б) .

Розв'язання. а) Розкладаючи цей визначник з прикладу 2),б за елементами 1-го рядка, держимо:

=1 +3 +4 =1 (-18)+3 13+4 (-12)=-27

Обчислення визначника способом перетворення рядків (стовпців)

= .=6–33=–27.

б) Попередньо перетворимо визначник:

=

=