Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей, дисперсии которых известны

Пусть генеральные совокупности X и Y распределены нормально и их дисперсии известны. По независимым выборкам, объемы которых n и m найдем выборочные средние и .

Требуется по выборочным средним при заданном уровне значимости a проверить нулевую гипотезу H₀, состоящую в том, что генеральные средние (математические ожидания) рассматриваемых совокупностей равны:

H₀: M(X) = M(Y)

Так как выборочные средние являются несмещенными оценками для генеральных средних, т.е.:

M() = M(X), M () = M(Y), тогда H₀: M() = M().

В качестве критерия для проверки данной гипотезы используется следующая случайная величина (СВ):

.

Эта СВ будет являться нормированной нормальной величиной, т.к.:

M(Z) = 0, а s(Z) = 1.

Критическую область для проверки H₀ будем строить в зависимости от конкурирующей гипотезы:

1) H₀: M(X) = M(Y),

H₁: M(X) ¹ M(Y).

В этом случае строится двусторонняя критическая область, исходя из того, что вероятность попадания критерия в эту область равна уровню значимости a:

Z

-z_кр 0 z_кр

Обозначим правую критическую точку таким образом, что для нее выполняется следующее условие:

P (Z > z_кр) = a/2 = P(Z < - z_кр).

Достаточно найти правую критическую точку z_кр, тогда область принятия H₀ будет иметь следующий вид: (- z_кр; z_кр).

Так как генеральные совокупности X и Y распределены нормально, то используя соответствующую формулу:

P(0<Z<z)= Ф(z) - Ф(0) = Ф(z),

получим: .

Так как распределение нормальное и оно симметрично относительно нуля, то:

, следовательно .

Тогда используя таблицу функции Лапласа можно найти критическую точку z_кр. Неравенство |Z| < z_кр будет определять область принятия гипотезы, а |Z| > z_кр определяет критическую область.