Проверка гипотезы о нормальном распределении. Критерий согласия Пирсона

Раньше закон распределения генеральной совокупности был известен. Если закон распределения неизвестен, то можно предположить, что он имеет определенный вид. Проверка гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения производится также, как и проверка гипотезы о параметрах распределения, т.е. при помощи специально подбираемых случайных величин (СВ).

Критерием согласия называют критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения.

Имеется несколько критериев согласия:

- критерий Пирсона,

- критерий Колмогорова,

- критерий хи-квадрат.

Остановимся на критерии Пирсона. Этот критерий применяется для проверки гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности.

С этой целью сравнивают эмпирические (наблюдаемые) и теоретические частоты, вычисленные в предположении нормального распределения.

Критерий Пирсона не доказывает справедливость гипотезы, а лишь устанавливает ее согласие либо несогласие с данными наблюдений.

Пусть по выборке объема n получено следующее эмпирическое распределение:

	x1	x2	…	xk
ni	n1	n2	…	nk

Допустим, что исходя из нормального распределения генеральной совокупности вычислены теоретические частоты соответствующих значений:

n₁‘, n₂‘, …, n_k'

При уровне значимости a требуется проверить гипотезу H₀, состоящую в том, что генеральная совокупность распределена нормально.

В качестве критерия проверки H₀ принимают случайную величину

.

При условии, что n ®¥ закон распределения случайной величины независим от того, какому закону подчиняется генеральная совокупность, стремится к закону распределения Хи-квадрат cо степенью свободы k.

Число степеней свободы k находят: k = S – 1 – r, где

S – число групп выборки (число частичных отрезков),

r – число параметров предполагаемого распределения, которое оценивается по данной выборке.

Если предполагаемое распределение нормальное, то оцениваются только: M(X) и s(X), т.е. r = 2, k = S – 3.

Построим правостороннюю критическую область исходя из того, что вероятность попадания критерия в эту область равна заданному уровню значимости a

.

Правило: Для того, чтобы проверить H₀, состоящую в том, что генеральная совокупность распределена нормально, необходимо:

- вычислить теоретические частоты ,

- затем вычислить наблюдаемое значения критерия

,

- по таблице распределения определить критическую точку, которая зависит от a и k:

, k=S-3.

Если , то H₀ принимается.

Если , то H₀ отвергается.

Замечание:

Преобразуем формулу для :

.