Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей

Пусть X и Y это две генеральные совокупности, распределенные по нормальному закону. По выборкам объемами n₁ и n₂, извлеченным из из этих совокупностей, находятся исправленные выборочные дисперсии S_x² и S_y².

Требуется по исправленным дисперсиям при заданном уровне значимости a проверить гипотезу H₀, состоящую в том, что генеральные дисперсии совокупностей равны между собой.

H₀: D(X) = D(Y)

Учитывая, что исправленные дисперсии являются несмещенными оценками генеральных дисперсий, получим:

M(S_x²) = D(X) M(S_y²) = D(Y).

Тогда H₀ можно записать в следующем виде:

H₀: M(S_x²) = = M(S_y²).

В качестве критерия для проверки гипотезы H₀ выбирают следующий критерий F, равный отношению большей исправленной дисперсии к меньшей исправленной дисперсии.

F = S_б² / S_м²

Величина F имеет распределение Фишера-Снедекора со степенями свободы:

k₁ = n₁ – 1, k₂ = n₂ - 1, где

n₁ - объем выборки, которая имеет большую исправленную дисперсию,

n₂ - объем выборки, которая имеет меньшую исправленную дисперсию.

Конкурирующая гипотеза H₁ может иметь два разных вида. В зависимости от вида гипотезы H₁ строится либо правосторонняя, либо двусторонняя критическая область.

1) H₁: D(X) > D(Y), в этом случае строят правостороннюю критическую область. Строят, исходя из следующего условия:

P(F > F_кр) = a.

Критическую точку F_кр находят по таблице Фишера-Снедекора. В этом случае правосторонняя критическая область задается неравенством: F>F_кр, а область принятия гипотезы F<F_кр. Обозначим через наблюдаемое значение критерия:

F_набл. = S_б² / S_м².

Тогда правило проверки H₀ можно сформулировать так:

Если F_набл.>F_кр, то H₀ отвергается.

Если F_набл.<F_кр, то H₀ принимается.

2) Рассмотрим конкурирующую гипотезу H₁: D(X) ¹ D(Y).

В этом случае строится двусторонняя критическая область:

F₁ - левая критическая точка области,

F₂ - правая критическая точка области. 0

F₁ F₂

Для нахождения F₁ и F₂ используется следующие равенства:

P(F < F₁) = a / 2, P(F > F₂) = a /2.

Для нахождения правой критической точки F₂ находим по таблице Фишера-Снедекора по данным выборки это значение, т.е.:

F₂ = F_кр(a / 2, k₁,k₂). Тогда

если F_набл. > F₂ то H₀ отвергается,

если F_набл. < F₂ то H₀ принимается.