Точность оценки. Доверительная вероятность и доверительный интервал

Определение: Точечной оценкой называют статистическую оценку, которая определяется одним числом.

При выборке малого объема точечная оценка может значительно отличаться от оцениваемого параметра.

Определение: Интервальной оценкой называют оценку, которая определяется двумя числами - концами интервала.

Пусть найденная по данным выборки статистическая характеристика q* (тета со звездочкой) служит оценкой неизвестного параметра q.

Ясно, что оценка q* будет тем точнее, чем меньше разность |q - q*|.

Если D>0 и |q - q*| < D, то чем меньше D, тем точнее оценка. Число D характеризует точность оценки.

Надежностью (доверительной вероятностью) оценки q* называют g (вероятность), с которой осуществляется следующее неравенство:

½q - q*½ < D, т.е.

P(½q - q*½ < D) = g,

P (q* - D < q < q* + D) = g.

В статистике g = 0,95; 0,99; 0,999.

Доверительным интервалом называют интервал (q*-d; q*+d), который покрывает неизвестный параметр с надежностью g (гамма).

6.14. Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения при известном .

Пусть Х (количественный признак) генеральной совокупности распределен по нормальному закону. При этом среднее квадратическое отклонение равно s. Требуется оценить математическое ожидание по выборочной средней .

Найдем доверительный интервал с надежностью g (гамма), который покрывает параметр . Т.к. генеральная совокупность распределена по нормальному закону, то

, .

Используя формулу для нормального распределения имеем:

;

; ; ; .

По таблице функции Лапласа вычисляем , откуда , значит:

; .

Таким образом доверительный интервал для конкретного параметра таков:

.