Сравнение выборочной средней с генеральной средней нормальной совокупности

1) Дисперсия генеральной совокупности известна.

Пусть генеральная совокупность Х распределена по нормальному закону, причем генеральная средняя данной совокупности неизвестна, но имеется предположение о том, что она равна .

Найдем выборочную среднюю по данным выборки . Требуется при заданном уровне значимости a проверить нулевую гипотезу:

H₀: .

Учитывая, что выборочное среднее является несмещенной оценкой для генеральной средней, то M() = , можно нулевую гипотезу переписать в следующем виде:

H₀: .

В качестве критерия для проверки гипотезы используем:

.

Данная случайная величина является нормированной, нормальной:

M(U) = 0, s (U) = 1.

Для проверки нулевой гипотезы в зависимости от конкурирующей гипотезы строится соответствующая критическая область.

a) H₀: ,

H₁: .

u

- u_кр 0 u_кр

.

По таблице функции Лапласа находим критические точки:

.

Если | u_набл | < u_кр, то H₀ принимается,

если | u_набл | > u_кр, то H₀ отвергается.

b) H₀: ,

H₁: .

Для того, чтобы проверить H₀ вычислим:

.

По таблице функции Лапласа находим u_кр из следующего условия:

.

Если u_набл > u_кр, то H₀ отвергается,

если u_набл < u_кр, то H₀ принимается.

c) H₀: ,

H₁: .

Для того, чтобы проверить H₀ вычислим значение критерия:

.

Находим критическую точку u_кр из следующего условия:

.

Если u_набл < - u_кр, то H₀ отвергается,

если u_набл > - u_кр, то H₀ принимается.

2) Дисперсия генеральной совокупности неизвестна.

Если дисперсия генеральной совокупности неизвестна (в случае малых выборок), то в качестве критерия проверки H₀ принимается случайная величина T:

,

где S - направленное среднее квадратическое отклонение.

Критерий Т имеет распределение Стьюдента со степенями свободы k = n – 1.

Критическая область строится в зависимости от конкурирующей гипотезы.

Возможны 3 случая:

a) H₀: ,

H₁: .

Чтобы проверить H₀ вычисляем наблюдаемое значение критерия

.

По таблице критических точек распределения Стьюдента по заданному уровню значимости a и по числу степеней свободы находим критическую двустороннюю точку

.

Если | T_набл | < t_кр.дв. то H₀ принимается,

если | T_набл | > t_кр.дв. то H₀ отвергается.

b) H₀: ,

H₁: .

Строится правосторонняя критическая область. Для проверки H₀ вычисляем T_набл:

.

По таблице критических точек распределения Стьюдента находим

. И, далее,

если T_набл > t_кр.пр. , то H₀ отвергается.

Если T_набл < t_кр.пр., то H₀ принимается.

c) H₀: ,

H₁: .

Строится левосторонняя критическая область, симметричная правосторонней. Для проверки H₀ вычисляем наблюдаемое значение критерия T_набл

.

По таблице критических точек распределения Стьюдента находим t_кр.пр.

. Далее,

если T_набл < - t_кр.пр. , то H₀ отвергается.

Если T_набл > - t_кр.пр., то H₀ принимается.