Формула для вычисления дисперсии

Теорема: Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины X² и квадратом математического ожидания случайной величины X.

D(X) = M(X²) – M²(X)

Доказательство: D(X) = M(X-M(X))² = M(X²-2*X*M(X)+M²(X))=

= M(X²)-2*M(X*M(X))+M(M²(X)) = M(X²) – 2*M(X)*M(X) + M²(X) =

= M(X²) – M²(X), что и требовалось доказать.

Пример: Вычислить дисперсию следующей случайной величины:

X					X2
P	0,1	0,6	0,3		P	0,1	0,6	0,3

M(X) = 2*0,1+3*0,6+5*0,3 = 3,5, M(X²) = 4*0,1+9*0,6+25*0,3 = 13,3,

D(X) = M(X²) – M²(X) = 13,3 – (3,5)² = 1,05.

Свойства дисперсии.

1) Дисперсия постоянной величины равна нулю.

D(C) = 0, C = const.

Доказательство: D(C) = M(C – M(C))² = M(0) = 0.

2) Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии.

D(C*X) = C²*D(X).

Доказательство:

D(C*X) = M(C*X – M(C*X))² = C² *M(X – M(X))² = C²*D(X).

3) Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий.

D(X+Y) = D(X) + D(Y),

где X,Y –независимые случайные величины.

Доказательство:

D(X+Y) = M(X+Y) ² – M²(X+Y) = M(X²+2*X*Y +Y²) –(M(X)+M(Y)) ² =

= M(X²)+2*M(X)*M(Y)+M(Y²)-M²(X) - 2*M(X)*M(Y) - M²(Y) =

= M(X²) -M²(X) + M(Y²) - M²(Y) = D(X) + D(Y).

Дисперсия числа появлений событий в независимых испытаниях.

Теорема: Дисперсия числа появлений события А в n независимых испытаниях равна произведению числа испытаний на вероятность появления и непоявления события в каждом испытании.

D(X) = n*p*(1-p).

Доказательство: Рассмотрим случайную величину X – число появлений события А в n независимых испытаниях.

X = X ₁ + X ₂ + … + X _n , где

X ₁ – число появлений события А в первом испытании, X ₂ – во втором, …., X _n – в n-ном испытании.