Повторные испытания. Формула Бернулли

Если проводится несколько испытаний, причем вероятность события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называются независимыми относительно события А.

Пусть в независимых испытаниях событие А имеет одну и ту же вероятность. Проводится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может произойти и не произойти.

Вероятность события А в каждом испытании равна числу p, а вероятность ненаступления события А равна числу q = 1 – p.

Вычислим вероятность того, что в n испытаниях событие А произойдет ровно k раз - Pn^k(A). Эта вероятность вычисляется по формуле Бернулли.

Вероятность одного сложного события, состоящего в том, что в n испытаниях событие А произойдет ровно k раз и не наступит n – k раз по теореме умножения вероятностей независимых событий будет равна

p^k * q^n-k .

Таких событий будет столько, сколько можно составить сочетаний из n по k - (C_n^k ).

Т.к. сложные события будут несовместны, то по теореме сложения вероятностей P_n^k(A) равна сумме вероятностей этих сложных событий

Pn^k(A) = C_n^k * p^k * q^n-k.

Пример: Пусть нам требуется вычислить вероятность того, что в четырех независимых испытаниях событие А должно произойти 3 раза.

P₄³(A) = C₄³*p³*q, где A = AAAA + AAAA + AAAA + AAAA.

Пример: Монета подбрасывается 10 раз. Найти вероятность того, что герб выпадает 2 раза.

А = {герб}, n = 10, k=2, p=1/2, q=1/2

P₁₀²(A) = C₁₀²*(1/2)²*(1/2)⁸ = 45/1024.

Пример: Проводится 8 независимых испытаний в каждом из которых вероятность события А равна 0,1. Найти вероятность того, что события А в 8 испытаниях появится хотя бы 2 раза.

p = 0,1, q=0,9, n=8.

Найдем вероятность противоположного события

P₈⁰(A)+P₈¹(A) = C₈⁰*0,1⁰*0,9⁸+C₈¹*0,1¹*0,9⁷ = 1,7*0,9⁷

Ответ: 1 - 1,7*0,9⁷