Распределение Пуассона. Пусть проводится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна p

Пусть проводится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна p. Для определения вероятности того, что в n независимых испытаниях событие А произойдет k раз используется формула Бернулли.

Если число испытаний n велико, то используется приближенная формула Лапласа.

Если же число испытаний n велико, а вероятность свершения события А мала, то эту формулу использовать нецелесообразно (точность мала). В этом случае целесообразнее использовать формулу Пуассона, которая применяется в случае, когда

l = n*p £ 10.

По формуле Бернулли вероятность того, что в n независимых испытаниях событие А происходит k раз:

P_n^k(A) = C_n^k*p^k*(1-p)^(n-k), т.к. p*n = l, то p= l/n и

n!

P_n^k(A) = -------------- * p^k*(1-p)^(n-k) =

k!*(n-k)!

n*(n-1)*(n-2)*…..*(n-k+1) l ^k l ^{(n- k)}

= -------------------------------------- * ------ * 1 - ---,

k! n n

где l = n*p.

Будем предполагать, что среднее число появлений А остается постоянным. Т.к. число испытаний у нас велико, то вычислим предел при n, стремящемся к бесконечности.

l ^k 1 2 k 1 l ^{- k}

lim P_n^k(A) = ---- * lim 1* 1- --- * 1- --- * ….* 1- ---- + --- * 1 - --- *

n®¥ k! n®¥ n n n n n

l n l ^k l ⁿ l ^-k l^k

* 1 - --- = --- * lim 1 - --- * 1 - --- = ---- * e^-l * 1,

n k! n®¥ n n k!

l^k*e ^(-l)

P_n^k(A)» ------------, где l = n*p £ 10.

k!

Закон распределения, вероятность для которого рассчитывается по данной формуле, именуется закон Пуассона.

Пример: Завод отправил на базу 5 тысяч качественных изделий. Найти вероятность того, что на базу поступят 3 бракованных изделия. Вероятность того, что изделие повредится = 0,0002.

n = 5000, p = 0,0002, l = n*p = 1 < 10.

1³ * e ^(-1) 1

P³₅₀₀₀ (A)» ------------- = --------- = 0,06.

3! 6 * e