Независимые события. Теорема умножения для независимых событий

Определение: Событие В называется независимым относительно события А, если появление события А не изменяет вероятность появления события В, т.е. выполняется следующее равенство.

P_A(B) = P(B)

Условие независимости является взаимным для события B.

P(A)*P_A(B) = P(B)*P_B(A),

P(A)*P(B) = P(B)*P_B(A), то P(A) = P_B(A).

Теорема: Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению их вероятностей.

P(AB) = P(A)*P(B).

Доказательство: P(AB) = P(A)*P_A(B) = P(A)*P(B). Теорема доказана.

Пример: Найти вероятность поражения цели двумя орудиями, если для первого орудия вероятность попадания P₁ = 0.8, а для второго

P₂ = 0.9

А = {попадает первое}, В = {попадает второе}.

P(AB) = P(A)*P(B) = 0,8*0,9 = 0,72.

Определение: Несколько событий называются попарно независимыми, если каждые два из них независимы.

Определение: Несколько событий называются независимыми в совокупности, если независимы каждые два из них и независимы каждое событие и все возможные произведения остальных.

События A₁, A₂, A₃ независимы в совокупности, если независимы

A₁ и A₂, A₂ и A₃, A₃ и A₁, а также A₁ и A₂*A₃, A₂ и A₁*A₃, A₃ и A₁*A₂ .

В практических заданиях независимость событий определяется по смыслу задач.

Следствие: Вероятность произведения нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей данных событий.

P(A₁A₂…An) = P(A₁)*P(A₂)*….*P(An).