Теорема сложения вероятностей совместных событий. Теорема: Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления

Теорема: Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления.

P(A+B) = P(A) +P(B) – P(A*B).

Доказательство: Так как А и В совместны, то А + В наступает, если наступит хотя бы одно из следующих событий А*В, А*В, А*В, тогда по теореме о вероятности суммы несовместных событий вероятность события А + В будет равна сумме вероятностей

P(A+B) = P(A*B) + P(A*B) + P(A*B)

Событие А происходит в том случае, если происходит хотя бы одно из следующих событий А*В и А*В, то

P(A) = P(A*B) + P(A*B) => P(A*B) = P(A) – P(A*B),

аналогично

P(B) = P(A*B) + P(A*B) => P(A*B) = P(B) – P(A*B) =>

P (A+B) = P(A*B) + P(B) – P(A*B) + P(A) – P(A*B) = P(A) + P(B) – P(A*B).

Пример: Два стрелка стреляют одновременно, вероятности попадания в мишень каждого из них равны соответственно P₁ = 0,2; P₂ = 0,8.

Найти вероятность того, что в мишень попал хотя бы один.

События А = {попал первый стрелок}; В = {попал второй стрелок}.

1) P(A+B) = P(A) + P(B) – P(A*B) = 0,2 + 0,8 – 0,2*0,8 = 0,84.

Можно иначе:

2) P(A+B) = P(A*B) + P(A*B) + P(A*B)

0,2*0,2 + 0,8*0,8 + 0,2*0,8 = 0,04+0,64+0,16 = 0,84.