Сложение вероятностей

События образуют полную группу событий, если при каждом испытании может появиться любое из них и не может появиться какое-либо иное событие, несовместное с ними.

Теорема: Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей свершения каждого из этих событий.

P(A+B) = P(A) + P(B).

Доказательство: События A и B несовместны.

m_a m_b

Пусть P(A) = -----, P(B) = ------.

n n

Т.к. события А и В несовместны, то число благоприятствующих случаев одновременного появления событий А и В равно нулю, а число случаев благоприятствующих повлению событий А или В равно m_a + m_b, тогда, по классическому определению вероятности:

m_a + m_b m_a m_b

P(A+B) = ------------- = ------- + ------ = P(A) + P(B).

n n n

Теорема доказана.

Следствие 1: Если имеются А₁, А₂, А₃, …., Аn несовместных событий, то вероятность суммы этих событий равна сумме вероятностей каждого из этих событий.

P(А₁+А₂+А₃+….+А_n) = P(А₁)+P(А₂)+….+P(А_n)

Пример: В ящике имеются 10 белых, 15 черных, 20 синих и 25 красных шаров. Из ящика достают один шар.

Найти вероятность следующего события:

A = {из ящика достают белый или черный шар}.

Событие А представим как сумму двух несовместных событий:

A = A₁ + A₂, где

A₁ = {из ящика достают белый шар},

A₂ = {из ящика достают черный шар}.

P(A₁+A₂) = P(A₁) + P(A₂) = 10/70 + 15/70 = 5/14 = 5 / 14.

Следствие 2: Сумма вероятностей противоположных событий равна 1.

P(A) + P(A) = 1.

Доказательство: Поскольку А и А противоположные события, то сумма событий А + А – является событием достоверным, а вероятность достоверного события равна единице. Поэтому

P(A+ A) = P(A) + P(A) = 1.

Пример: Вероятность того, что день ясный равна 0,8. Какова вероятность того, что день будет пасмурным?

A = {день ясный}

A = {день пасмурный}

P(A) = 1 - P(A) = 1 – 0,8 = 0,2.

Следствие 3: Сумма вероятностей событий образующих полную группу равна 1.

Доказательство: Пусть А₁, А₂, А₃, …., Аn – образуют полную группу событий. Тогда сумма этих событий есть событие достоверное и его вероятность равна 1. Следовательно

P(А₁+А₂+А₃+….+Аn) = P(A₁) + P(A₂) + P(A₃) +…. + P(An) = 1.