Элементы комбинаторики. Основные понятия и закономерности теории вероятностЕЙ

Основные понятия и закономерности теории вероятностЕЙ.

Элементы комбинаторики.

При решении многих практических задач приходится выбирать из некоторой совокупности объектов элементы, обладающие тем или иным свойством, и располагать эти элементы в определенном порядке. В этих задачах речь идет о тех или иных комбинациях элементов. Такие задачи называются комбинаторными, а раздел математики, изучающий эти задачи называется комбинаторикой.

Определение:

Сочетания ми из n (различных) элементов по k элементов называют комбинации, составленные из данных n элементов по k элементов, которые отличаются друг от друга хотя бы одним элементом.

n!

C_n^k = ------------

k!*(n-k)!

Пример: Дано множество {a,b,c}. Составить сочетания по 2 элемента.

3!

C₃² : ab, bc, ac; C₃² = ----------- = 3 - их количество

2!*1!

Пример: В ящике 20 шаров: 12 белых, остальные черные. Сколькими способами можно отобрать 2 белых щара? 2 черных шара? 1 черный и 1 белый шар?

12! 11*12 8! 8*7

1) C₁₂² = ------------- = ---------- = 66; 2) C₈² = ------------ = ---------- = 28;

2!*10! 2 2!*6! 2

12! 8!

3) C₁₂¹ * С₈¹ = --------- * ----------- = 12*8 = 96.

1!*11! 1!*7!

Определение:

Размещениями из n различных элементов по k элементов называют комбинации, составленные из данных n элементов по k элементов, которые различаются между собой либо самими элементами, либо их порядком.

n!

A_n^k = ------------

(n-k)!

Пример: Составить для множества {a,b,c} размещения по два элемента и определить их количество.

ab, ac, bc 3!

A₃² : ba, ca, cb; A₃² = --------- = 6 - их количество.

1!

Пример: Сколько различных 3-х значных чисел можно составить из множества цифр {1, 2, 3, 4, 5} без повторений?

5!

А₅³ = ------- = 60.

(5 – 3)!

Определение:

Перестановками из n различных элементов называют множества из данных n элементов, каждое из которых отличается от другого порядком элементов.

P_n = n!

Пример: Составить для множества {a,b,c} перестановки и определить их количество:

P₃ = 3! = 6: abc, bca, cba, bac, cab, acb.

Основные понятия теории вероятностей.

Основным понятием теории вероятности является понятие случайного события.

Случайным событием будем называть событие, которое при осуществлении некоторых условий может произойти или не произойти.

Теория вероятностей изучает закономерности, которым подчиняются случайные события.

Определение: Опыт, эксперимент, наблюдение, явление в теории вероятностей называют испытание м.

Примеры испытаний в теории вероятностей – подбрасывание монеты, выстрел по мишени и т.д..

Определение: Результат, исход испытания, называют событие м.

События обозначают буквами: А, В, С, ….

Примеры: А = {выпадание орла}; В = {выпадание решки}.