Собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям, линейно независимы. (24)

3. Если все корни характеристического уравнения действительные и попарно различные, то существует базис линейного пространства, состоящий из собственных векторов линейного оператора , в котором его матрица D имеет диагональный вид:

. (25)

В этом случае матрицы A и D связаны между собой формулой , где U – матрица перехода от исходного базиса к базису из собственных векторов. Откуда следует, что элементами столбцов матрицы U являются координаты соответствующих собственных векторов линейного оператора.

4. Кратность корня характеристического уравнения называется алгебраической кратностью собственного значения .

Количество линейно независимых собственных векторов, соответствующих собственному значению , называется его геометрической кратностью.

Геометрическая кратность не превосходит его алгебраической кратности.

5. Собственные значения не зависят от выбора базиса. Таким образом множество всех собственных значений линейного оператора, называемое его спектром, инвариантно относительно базиса.